Норма (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Определение[править | править вики-текст]

Норма вектора[править | править вики-текст]

Норма в векторном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал , обладающий следующими свойствами:

  1. (неравенство треугольника);

Эти условия являются аксиомами нормы.

Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1–3) — также аксиомами нормированного пространства.

Из аксиом нормы очевидным образом вытекает свойство неотрицательности нормы:

.

Действительно, из третьего свойства следует: , а из свойства 2 — .

Чаще всего норму обозначают в виде: . В частности,  — это норма элемента векторного пространства .

Вектор с единичной нормой называется единичным или нормированным.

Любой ненулевой вектор можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.

Норма матрицы[править | править вики-текст]

Нормой матрицы называется вещественное число , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

  1. , причём только при ;
  2. , где ;
  3. ;
  4. .

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется субмультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы субмультипликативны.

Матричная норма из называется согласованной с векторной нормой из и векторной нормой из если справедливо:

для всех .

Норма оператора[править | править вики-текст]

Норма оператора  — число, которое определяется так:

,
где  — оператор, действующий из нормированного пространства в нормированное пространство .

Это определение эквивалентно следующему:

  • Свойства операторных норм:
  1. , причём только при ;
  2. , где ;
  3. ;
  4. .

В конечномерном случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.

Свойства нормы[править | править вики-текст]

  1. [косинус угла]

Эквивалентность норм[править | править вики-текст]

  • Две нормы и на пространстве называются эквивалентными, если существует две положительные константы и такие, что для любого выполняется . Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

Примеры[править | править вики-текст]

Линейные нормированные пространства[править | править вики-текст]

  • Гёльдеровы нормы -мерных векторов (семейство): ,

где (обычно подразумевается, что это натуральное число). В частности:

  • , что также имеет название метрика L1, норма или манхэттенское расстояние. Для вектора представляет собой сумму модулей всех его элементов.
  • , что также имеет название метрика L2, норма или евклидова норма. Является геометрическим расстоянием между двумя точками в многомерном пространстве, вычисляемым по теореме Пифагора.
  • (это предельный случай ).
  • Аналогично можно ввести нормы для конечномерных векторных функций конечномерных векторных аргументов, заменив на , а интегрирование по отрезку интегрированием по области (максимум же на отрезке — в соответствующем случае — максимумом на области).

«норма»[править | править вики-текст]

Особым случаем является (L0-«норма»), определяемая как количество ненулевых элементов вектора. Строго говоря, это не является нормой, так как не выполняется третья аксиома нормы. В основном таким видом «нормы» пользуются в задачах разреженного кодирования, в частности в Compressive sensing, где нужно найти наиболее разреженное представление вектора (с наибольшим количеством нулей), т.е. с наименьшей -нормой. С помощью этой «нормы» может быть определенно расстояние Хэмминга.

Некоторые виды матричных норм[править | править вики-текст]

  • Порожденные нормы :
    • : -норма,
    • (евклидова норма) и (квадратные матрицы), подчиненная норма матрицы называется спектральная норма. Спектральная норма матрицы равна наибольшему сингулярному числу матрицы или квадратному корню из наибольшего собственного числа положительно полуопределённой матрицы : , где обозначает матрицу, сопряжённую к матрице .
    • : -норма
Здесь  — сопряжённая к матрица,  — след матрицы.
  • Поэлементная -норма ():
    • Норма Фробениуса: .

Связанные понятия[править | править вики-текст]

Топология пространства и норма[править | править вики-текст]

Норма задаёт на пространстве метрику (в смысле — функцию расстояния метрического пространства), порождая таким образом метрическое пространство, а значит топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида . Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

См. также[править | править вики-текст]