Симплектическое многообразие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой.

Симплектическое многообразие позволяет естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и даёт наглядное толкование многим её свойствам.

Определение[править | править вики-текст]

Дифференциальная 2-форма называется симплектической структурой, если она невырождена и замкнута, то есть её внешняя производная равна нулю:

и для любого ненулевого касательного вектора

где  — операция подстановки вектора .

Многообразие называется симплектическим, если на нём задана симплектическая структура.

Гамильтоновы векторные поля[править | править вики-текст]

Пусть  — произвольная функция на симплектическом многообразии. Симплектическая структура ставит в соответствие 1-формам на особый класс векторных полей, называемых гамильтоновыми, по правилу

В силу невырожденности формы векторное поле определено однозначно, обозначим его . В канонических координатах это отображение принимает вид

соответствующий уравнениям Гамильтона, при этом называется функцией Гамильтона или гамильтонианом. Скобки Пуассона превращают множество гамильтонианов на в алгебру Ли и определены по правилу

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Диффеоморфизм симплектических многообразий называется симплектоморфизмом, если он сохраняет симплектическую структуру.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Теорема Дарбу: все симплектические многообразия локально симплектоморфны. Таким образом, в окрестности любой точки многообразия можно выбрать канонические координаты, называемые также координатами Дарбу, в которых симплектическая структура принимает вид
При этом в касательном пространстве каждой точки в рассматриваемой окрестности оказывается выбран базис Дарбу.
  • Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру:
Здесь  — производная Ли по векторному полю . Таким образом, гамильтонов фазовый поток является симплектоморфизмом.

Контактная структура[править | править вики-текст]

С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Многообразие называется мультисимплектическим степени , если на нём задана замкнутая невырожденная дифференциальная k-форма.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  • Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-ое изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
  • Тирринг В. Курс математической и теоретической физики. — К.: TIMPANI, 2004. — 1040 с.
  • Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Изд. МГУ, 1988. — 414с.