Симплектическое многообразие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой.

Симплектическое многообразие позволяет естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и даёт наглядное толкование многим её свойствам.

Определение[править | править исходный текст]

Дифференциальная 2-форма \omega называется симплектической структурой, если она невырождена и замкнута, то есть её внешняя производная равна нулю:

d \omega = 0

и для любого ненулевого касательного вектора v \in T_x M

\imath_v \omega \ne 0

где \imath_v — операция подстановки вектора v.

Многообразие M называется симплектическим, если на нём задана симплектическая структура.

Гамильтоновы векторные поля[править | править исходный текст]

Пусть H\colon M \to \Bbb R — произвольная функция на симплектическом многообразии. Симплектическая структура ставит в соответствие 1-формам на M особый класс векторных полей, называемых гамильтоновыми, по правилу

dH = \imath_v \omega.

В силу невырожденности формы \omega векторное поле v определено однозначно, обозначим его I dH. В канонических координатах это отображение принимает вид

\dot {\mathbf q} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf p}, \quad \dot {\mathbf p} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf q},

соответствующий уравнениям Гамильтона, при этом H называется функцией Гамильтона или гамильтонианом. Скобки Пуассона превращают множество гамильтонианов на M в алгебру Ли и определены по правилу

[F, G] = \omega(I dF, IdG).

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Диффеоморфизм симплектических многообразий f\colon M \to N называется симплектоморфизмом, если он сохраняет симплектическую структуру.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Теорема Дарбу: все симплектические многообразия локально симплектоморфны. Таким образом, в окрестности любой точки многообразия можно выбрать канонические координаты, называемые также координатами Дарбу, в которых симплектическая структура принимает вид
\omega = d\mathbf p \wedge d\mathbf q
При этом в касательном пространстве каждой точки в рассматриваемой окрестности оказывается выбран базис Дарбу.
  • Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру:
\ L_{IdH}\, \omega = 0
Здесь L_v — производная Ли по векторному полю v. Таким образом, гамильтонов фазовый поток является симплектоморфизмом.

Контактная структура[править | править исходный текст]

С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Многообразие называется мультисимплектическим степени k, если на нём задана замкнутая невырожденная дифференциальная k-форма.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
  • Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-ое изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
  • Тирринг В. Курс математической и теоретической физики. — К.: TIMPANI, 2004. — 1040 с.
  • Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Изд. МГУ, 1988. — 414с.