Симплектическое многообразие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой.

Симплектическое многообразие позволяет естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и даёт наглядное толкование многим её свойствам.

Определение[править | править код]

Дифференциальная 2-форма называется симплектической структурой, если она невырождена и замкнута, то есть её внешняя производная равна нулю:

и для любого ненулевого касательного вектора найдётся вектор такой, что

Многообразие с заданной на нём симплектической формой называется симплектическим многообразием.

Замечания[править | править код]

  • Из определения следует, что симплектическое многообразие имеет чётную размерность.
  • Если размерность равна , то невырожденость формы эквивалентна условию .

Связанные определения[править | править код]

  • Диффеоморфизм симплектических многообразий называется симплектоморфизмом, если он сохраняет симплектическую структуру.
  • Пусть  — произвольная гладкая функция на симплектическом многообразии. Симплектическая форма ставит в соответствие функции векторное поле , определяемое следующим тождеством:
    • Это определение аналогично определению градиента и иногда называется симплектическим градиентом функции .
    • Поле , которое можно получить таким образом называется гамильтоновым.
    • В силу невырожденности формы векторное поле определено однозначно. Будем обозначать его . В координатах Дарбу это отображение принимает вид
соответствующий уравнениям Гамильтона, при этом называется функцией Гамильтона или гамильтонианом.

Свойства[править | править код]

  • Теорема Дарбу: все симплектические многообразия локально симплектоморфны. Таким образом, в окрестности любой точки многообразия можно выбрать координаты, называемые координатами Дарбу, в которых симплектическая форма имеет вид
При этом в касательном пространстве каждой точки в рассматриваемой окрестности оказывается выбран базис Дарбу.
  • Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру:
Здесь  — производная Ли по векторному полю . Таким образом, гамильтонов фазовый поток является симплектоморфизмом.

Контактная структура[править | править код]

С каждым симплектическим -мерным многообразием каноническим образом связано -мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого -мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся -мерным многообразием.

Вариации и обобщения[править | править код]

Многообразие называется мультисимплектическим степени , если на нём задана замкнутая невырожденная дифференциальная k-форма.

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  • Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-ое изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
  • Тирринг В. Курс математической и теоретической физики. — К.: TIMPANI, 2004. — 1040 с.
  • Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Изд. МГУ, 1988. — 414с.