Счётная дырка

Счётной дыркой в линейно упорядоченном множестве $(X,<)$ называется пара множеств $(A,B)$ таких, что:

1. $A,B\subseteq X$,

1. $|A|,|B|\leqslant \aleph _{0}$ (не исключается случай $A=\varnothing$ или $B=\varnothing$),

1. $A<B$ (то есть все элементы $A$ меньше всех элементов $B$),

1. не существует $x\in X$ такого, что $A<x<B$

При $A=\varnothing$ наличие счётной дырки $(A,B)$ означает, что в X нет наименьшего элемента, а при $B=\varnothing$ наличие счётной дырки $(A,B)$ означает, что в $X$ нет наибольшего элемента.

Линейно упорядоченное множество называется счётно насыщенным, если в нём нет счётных дырок.

Известно (Хаусдорф), что все счётно насыщенные линейно упорядоченные множества мощности $\aleph _{1}$ попарно изоморфны.