Теорема Виртингера

Теорема Виртингера — теорема о геометрических свойствах многомерного комплексного пространства. Устанавливает вид дифференциальной формы, измеряющей объёмы комплексных многообразий. Была доказана Вильгельмом Виртингером в 1936 году.

Формулировка

Пусть $M\subset C^{n}$ — многообразие класса $C^{1}$ чётной вещественной размерности $2m$. Объём этого многообразия:

$VolM\geqslant {\frac {1}{m!}}\int _{M}\varphi _{0}^{m}$,

причём равенство здесь достигается в том и только том случае, когда $M$ — комплексное $m$-мерное многообразие.

Здесь дифференциальная форма $\varphi _{0}={\frac {i}{2}}\sum _{\nu =1}^{n}dz_{\nu }\wedge {\bar {dz_{\nu }}}={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\left|z\right|^{2}$, где $\left|z\right|^{2}=\sum z_{\nu }{\bar {z_{\nu }}}$ — евклидов квадрат модуля.

Литература

• Б. В. Шабат. Введение в комплексный анализ, часть II, Функции нескольких переменных. — М.: Наука, 1985. — стр. 133.