Дифференциальная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дифференциа́льная фо́рма порядка или -форма — кососимметрическое тензорное поле типа на многообразии.

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство -форм на многообразии обычно обозначают .

Определения[править | править вики-текст]

Инвариантное[править | править вики-текст]

В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени , или просто -форма — это гладкое сечение , то есть -ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,

  • значение -формы на наборе из штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
  • значение -формы в точке многообразия есть кососимметрический -линейный функционал на .

Через локальные карты[править | править вики-текст]

-формой на будем называть выражение следующего вида

где  — гладкие функции,  — дифференциал -ой координаты (функция от вектора, возвращающая его координату с номером  ), а  — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.

На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Для -формы , её внешний дифференциал (также просто дифференциал) это -форма, в координатах имеющая вид
  • для инвариантного определения дифференциала нужно определить дифференциал функций, то есть -форм, затем дифференциал -форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по -линейности и градуированному правилу Лейбница:
    • — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля.
    • — значение дифференциала -формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на значение формы на коммутаторе.
    • — где верхние индексы и обозначают порядки соответствующих форм.
  • Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешний дифференциал равен 0.
  • k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой -формы.
  • Факторгруппа замкнутых k-форм по точным k-формам называется -мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
  • Внутренней производной формы степени по векторному полю (также подстановкой векторного поля в форму) называется форма

Свойства[править | править вики-текст]

  • Для дифференциалов форм векторного поля справедливо:
  • Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от векторов.
  • Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:
  • Для любой формы справедливо .

Примеры[править | править вики-текст]

  • С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке многообразия и отображающий элементы касательного пространства в множество вещественных чисел :
  • Форма объёма — пример -формы на -мерном многообразии.
  • Симплектическая форма — замкнутая 2-форма на -многообразии, такая что .

Применения[править | править вики-текст]

Векторный анализ[править | править вики-текст]

Дифференциальные формы позволяют записать основные операции векторного анализа в координатно-инвариантном виде и обобщить их на пространства любой размерности. Пусть  — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, а  — оператор дуальности Ходжа (который, в частности, в трёхмерном пространстве реализует изоморфизм между 2-формами и векторными полями, а также между скалярами и псевдоскалярами). Тогда ротор и дивергенцию можно определить следующим способом:

Дифференциальные формы в электродинамике[править | править вики-текст]

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм в 4-мерном пространстве-времени. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока, дуальная обычному 4-вектору тока, имеет вид

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

где  — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика[править | править вики-текст]

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие с заданными на нём симплектической формой и функцией , называемой функцией Гамильтона. задаёт в каждой точке изоморфизм кокасательного и касательного пространств по правилу

,

где  — дифференциал функции . Векторное поле на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций и на определяется по правилу

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на со значениями в векторном расслоении определяются как сечения тензорного произведения расслоений

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение .

Литература[править | править вики-текст]

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  • Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
  • Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
  • Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.

См. также[править | править вики-текст]