Теорема Гамильтона — Кэли

Теоре́ма Га́мильтона — Кэ́ли — классическая теорема линейной алгебры, утверждает, что любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли.

Формулировка

Если $\ A$ — квадратная матрица и $\ c(\lambda )$ её характеристический многочлен, то $\ c(A)=0$.

Следствия

• Теорема Гамильтона — Кэли обуславливает существование аннулирующего многочлена.

Вариации и обобщения

• характеристический многочлен матрицы делится без остатка на ее минимальный многочлен.

• характеристический многочлен матрицы имеет те же корни, что и ее минимальный многочлен, и кратностью не ниже.

• Пусть $p_{A}(\lambda )$ — характеристический многочлен матрицы $A$, а матрица $X$ коммутирует с $A$. Тогда $p_{A}(X)=M(A-X)$, где $M$ — некоторая матрица, коммутирующая с $A$ и $X$.

• Если в характеристическом многочлене $f(x_{1},...,x_{m})$ заменить $x^{z}$ на $A^{z}$, то получим нулевую матрицу.

См. также

• Минимальный многочлен матрицы
• Характеристический многочлен матрицы
• Аннулирующий многочлен
• Лямбда-матрица

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд. — М.: Наука, 1966.
• Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973.
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.