Теорема Голдстоуна

Теорема Голдстоуна — утверждение о рождении и поглощении квантов возбуждения — частиц с нулевыми массами и спинами в квантовомеханических системах при спонтанном нарушении симметрии в процессах перехода между энергетическими состояниями, образующими непрерывный вырожденный набор. Эти частицы называются бозонами Голдстоуна. Впервые была доказана Йоитиро Намбу в 1964 г.

Пример

Рассмотрим пример с простейшей возможной симметрией относительно группы преобразований $U(1)$: $\varphi \rightarrow e^{i\alpha }\varphi$. Для этого выберем комплексное скалярное поле $\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\rho (x)e^{i\theta (x)}$ с лагранжианом $L=(\partial _{\mu }\varphi )(\partial ^{\mu }\varphi ^{*})-V(\rho )$. Проиллюстрируем спонтанное нарушение симметрии на примере потенциала вида $V(\rho )={\frac {1}{2}}\mu ^{2}\rho ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \rho ^{4}$, где $\mu ^{2}<0$. Потенциал $V(\rho )$ имеет минимум при $\varphi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\eta e^{i\alpha }$, где $\eta ={\sqrt {\frac {|\mu ^{2}|}{\lambda }}}$. Лагранжиан можно записать как: $L={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\rho )^{2}-V(\rho )+{\frac {\rho ^{2}}{2}}(\partial _{\mu }\theta )^{2}$. Если рассматривать в лагранжиане лишь квадратичные члены по модулю и фазе поля, то получим $L={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\rho _{1})^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}\rho _{1}^{2}+{\frac {\eta ^{2}}{2}}(\partial _{\mu }\theta )^{2}+C$ где $\rho _{1}=\rho -\eta$, $m^{2}=2|\mu |^{2}$, $C$ — константа, не зависящая от поля. Из этого лагранжиана вытекают уравнения движения: $(\partial _{\mu }^{2}+m^{2})\rho _{1}=0$ и $\partial _{\mu }^{2}\theta =0$. Таким образом, имеем два вещественных поля. Квантами поля $\rho _{1}$ являются частицы с массой $m$, а квантами поля $\theta$ являются частицы с нулевой массой.

См. также

• Механизм Хиггса

Литература

• Боголюбов, Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М. : Наука, 1980. — С. 101.
• Садовский, М. В. Лекции по квантовой теории поля. — М.-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. — С. 367.