Спин

Спин (от англ. spin, дословно — «вращение, вращать(-ся)») — собственный момент импульса элементарных частиц, имеющий как квантовую, так и классическую природу, и тесно связанный с представлениями группы вращений и группы Лоренца (классические аспекты спина см. в книгах H.C. Corben, Classical and Quantum Theories of Spinning Particles (Holden-Day, San Francisco, 1968), Alexei Deriglazov, Classical Mechanics (Second Edition,  Springer 2017), Пенроуз и Риндлер, Спиноры и пространство-время). Спином называют также собственный момент импульса атомного ядра или атома; в этом случае спин определяется как векторная сумма (вычисленная по правилам сложения моментов в квантовой механике) спинов элементарных частиц, образующих систему, и орбитальных моментов этих частиц, обусловленных их движением внутри системы.

Спин измеряется в единицах ħ (приведённой постоянной Планка, или постоянной Дирака) и равен ħJ, где J — характерное для каждого сорта частиц целое (в том числе нулевое) или полуцелое положительное число — так называемое спиновое квантовое число (оно есть число, характеризующее представления группы вращений и группы Лоренца, то есть сколько в нём собственно квантовости и сколько неквантовости, сейчас неизвестно), которое обычно называют просто спином (одно из квантовых чисел). Спин свободной частицы измерить нельзя, так как для измерения требуется внешнее магнитное поле, а оно делает частицу несвободной.

В связи с этим говорят о целом или полуцелом спине частицы. Полуцелый спин фундаментальнее, так как "из него" можно построить целый спин, но обратное невозможно (см. книгу Пенроуза и Риндлера).

Существование спина в системе тождественных взаимодействующих частиц является причиной нового квантово-механического явления, не имеющего аналогии в классической механике: обменного взаимодействия.

Вектор спина является единственной величиной, характеризующей ориентацию частицы в квантовой механике. Из этого положения следует, что: при нулевом спине у частицы не может существовать никаких векторных и тензорных характеристик; векторные свойства частиц могут описываться только аксиальными векторами; частицы могут иметь магнитные дипольные моменты и не могут иметь электрических дипольных моментов; частицы могут иметь электрический квадрупольный момент и не могут иметь магнитный квадрупольный момент; отличный от нуля квадрупольный момент возможен лишь у частиц при спине, не меньшем единицы.

Спиновый момент электрона или другой элементарной частицы, однозначно отделённый от орбитального момента, никогда не может быть определён посредством опытов, к которым применимо классическое понятие траектории частицы.

Число компонент волновой функции, описывающей элементарную частицу в квантовой механике, растёт с ростом спина элементарной частицы. Элементарные частицы со спином $0$ описываются однокомпонентной волновой функцией (скаляр), со спином ${\frac {1}{2}}$ описываются двухкомпонентной волновой функцией (спинор), со спином $1$ описываются трёхкомпонентной волновой функцией (вектор), со спином $2$ описываются пятикомпонентной волновой функцией (тензор).

Определения

Собственный угловой момент

Частица обладает спином $s$, если квантово-механические состояния этой частицы в её собственной системе покоя являются собственными состояниями оператора $\mathbf {J} ^{2}$ с собственным значением $\hbar ^{2}s(s+1)$.

Релятивистская квантовая теория

В релятивистской квантовой теории спин определяется как инвариантный параметр унитарного неприводимого представления группы Пуанкаре. Для представлений, соответствующих массивным частицам, унитарные неприводимые представления характеризуются массой $M$ и спином $s$, где $s$ соответствует неприводимому (возможно проективному) представлению группы вращений $SO(3)$.

Что такое спин — на примерах

Пример объекта, который требует поворота на 720° для возврата в начальное положение

Целые спины

Состояния с целым спином реализуют обычные унитарные неприводимые представления группы вращений $SO(3)$. Типичным примером являются сферические функции $Y_{\ell m}$, которые образуют базис представления с целым $\ell$. Функции с $\ell =0$ не изменяются при поворотах. Функции с $\ell =1$ при поворотах линейно преобразуются друг в друга так же, как компоненты обычного вектора в трёхмерном пространстве. Функции с произвольным целым $\ell$ при поворотах линейно преобразуются друг в друга с помощью D-матриц Вигнера $D_{mm'}^{(\ell )}(R)$.

Топологическая интерпретация спина 1/2 (трюк с ремнём Дирака).

Симуляция трюка Дирака

Полуцелый спин квантовых частиц связан с топологией группы вращений. Группа пространственных вращений $SO(3)$ не является односвязной и имеет фундаментальную группу $\pi _{1}(SO(3))\cong \mathbb {Z} _{2}$. Поэтому её проективные унитарные представления реализуются как обычные представления универсального накрытия $SU(2)$, причём отображение $SU(2)\to SO(3)$ является двулистным. В частности, для спинора поворот на $2\pi$ соответствует нетривиальной петле в $SO(3)$ и действует как умножение на $-1$, тогда как поворот на $4\pi$ гомотопически тривиален и даёт тождественное преобразование: $U(2\pi )=-\mathbb {I} ,\qquad U(4\pi )=+\mathbb {I} .$ Трюк с ремнём Дирака (или «косы на сфере») представляет собой наглядную топологическую модель этого факта: пространство ориентаций твёрдого тела (топологически группа вращений) гомотопически эквивалентно многообразию Штифеля $V_{3,2}$, которое, в свою очередь, гомотопически эквивалентно конфигурационному пространству $F_{3}(S^{2})$. В этой модели один полный оборот ремня соответствует нетривиальному элементу $\pi _{1}(SO(3))$ (коса Дирака $\Delta$), тогда как два полных оборота соответствуют тривиальному элементу ($\Delta ^{2}\simeq e$). Тем самым трюк с ремнём не является физическим механизмом спина, а даёт строгую топологическую интерпретацию того, почему спинорные состояния требуют поворота на $4\pi$ для возврата к исходному состоянию.

Четырёхтактный двигатель возвращается в исходное состояние при повороте коленчатого вала на 720°, что возможно является неким аналогом полуцелого спина

Свойства спина

В квантовой теории угловой момент массивной частицы может включать вклад, связанный с орбитальным движением, а также внутренний вклад – спин.

В отличие от орбитального углового момента, который порождается движением частицы в пространстве, спин не связан с движением в пространстве. Спин — это внутренняя, исключительно квантовая характеристика, которую нельзя объяснить в рамках релятивистской механики. Если представлять частицу (например, электрон) как вращающийся шарик, а спин как момент, связанный с этим вращением, то оказывается, что поперечная скорость движения оболочки частицы должна быть выше скорости света, что недопустимо с позиции релятивизма.

В частности, было бы совершенно бессмысленным представлять себе собственный момент элементарной частицы, как результат ее вращения „вокруг собственной оси“

Будучи одним из проявлений углового момента, спин в квантовой механике описывается векторным оператором спина ${\hat {\vec {s}}},$ алгебра компонент которого полностью совпадает с алгеброй операторов орбитального углового момента ${\hat {\vec {\ell }}}.$ Однако, в отличие от орбитального углового момента, оператор спина не выражается через классические переменные, иными словами, это только квантовая величина. Следствием этого является тот факт, что спин (и его проекции на какую-либо ось) может принимать не только целые, но и полуцелые значения (в единицах постоянной Дирака ħ).

Спин испытывает квантовые флуктуации. В результате квантовых флуктуаций строго определённое значение может иметь только одна компонента спина — например, $J_{z}$. При этом компоненты $J_{x},J_{y}$ флуктуируют вокруг среднего значения. Максимально возможное значение компоненты $J_{z}$ равно $J$. В то же время квадрат $J^{2}$ всего вектора спина равен $J(J+1)$. Таким образом, $J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}\geqslant J$. При $J={\frac {1}{2}}$ среднеквадратические значения всех компонентов из-за флуктуаций равны ${\widehat {J_{x}^{2}}}={\widehat {J_{y}^{2}}}={\widehat {J_{z}^{2}}}={\frac {1}{4}}$.

Вектор спина меняет своё направление при преобразовании Лоренца. Ось этого поворота перпендикулярна импульсу частицы и относительной скорости систем отсчёта.

Примеры

Ниже указаны спины некоторых микрочастиц.

спин	общее название частиц	примеры
0	скалярные частицы	π-мезоны, K-мезоны, хиггсовский бозон, атомы и ядра 4He, чётно-чётные ядра, парапозитроний
1/2	спинорные частицы	электрон, кварки, мюон, тау-лептон, нейтрино, протон, нейтрон, атомы и ядра 3He
1	векторные частицы	фотон, глюон, W- и Z-бозоны, векторные мезоны, ортопозитроний
3/2	спин-векторные частицы	Ω-гиперон, Δ-резонансы
2	тензорные частицы	гравитон, тензорные мезоны

На июль 2004 года максимальным спином среди известных барионов обладал барионный резонанс Δ(2950) со спином $15/2$. Среди долгоживущих изотопов химических элементов максимальным спином обладает изотоп висмута ²⁰⁹Bi, его спин составляет $9/2$. Некоторые короткоживущие изотопы и особенно изомеры могут иметь очень высокий спин, например у изотопа таллия^205m2Tl спин $35/2$, а изотоп полония ^211m3Po имеет спин $43/2$.

История

В 1922 году опыт Штерна — Герлаха подтвердил наличие у атомов спина и факт пространственного квантования направления их магнитных моментов.

Сам термин «спин» в науку ввели С. Гаудсмит и Д. Уленбек в 1925 г..

В 1924 году, ещё до точной формулировки квантовой механики, Вольфганг Паули ввёл новую, двухкомпонентную внутреннюю степень свободы для описания валентного электрона в щелочных металлах. В 1927 году он же модифицировал недавно открытое уравнение Шрёдингера для учёта спиновой переменной. Модифицированное таким образом уравнение носит сейчас название уравнение Паули. При таком описании у электрона появляется новая спиновая часть волновой функции, которая описывается спинором — «вектором» в абстрактном (то есть не связанном прямо с обычным) двумерном спиновом пространстве.

В 1928 году Поль Дирак построил релятивистскую теорию спина и ввёл уже четырёхкомпонентную величину — биспинор.

Математически теория спина оказалась очень продуктивной, и в дальнейшем по аналогии с ней была построена теория изоспина.

Спин и магнитный момент

Орбитальный магнитный момент электрона внутри атома кратен магнетону Бора. Но помимо орбитального момента количества движения $M_{l}$, обусловленного движением вокруг атомного ядра, электрон обладает собственным механическим моментом — спином $s=1/2$ (в единицах ħ), а также спиновым магнитным моментом (который по факту не кратен магнетону Бора). Спиновый магнитный момент $\mu _{s}=g_{e}\mu _{B}s$, где $g_{e}$ — g-фактор электрона, равный для электрона по данным экспериментов ~2,00231930436153.

Спин и статистика

Вследствие того, что все элементарные частицы одного и того же сорта тождественны, волновая функция системы из нескольких одинаковых частиц должна быть либо симметричной (то есть не изменяется), либо антисимметричной (домножается на −1) относительно перестановки местами двух любых частиц. В первом случае говорят, что частицы подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна и называются бозонами. Во втором случае частицы описываются статистикой Ферми — Дирака и называются фермионами.

Оказывается, именно значение спина частицы говорит о том, каковы будут эти симметрийные свойства. Сформулированная Вольфгангом Паули в 1940 году теорема о связи спина со статистикой утверждает, что частицы с целым спином (s = 0, 1, 2, …) являются бозонами, а частицы с полуцелым спином (s = 1/2, 3/2, …) — фермионами.

Обобщение спина

Введение спина является удачным применением новой физической идеи: постулирование того, что существует пространство состояний, никак не связанных с перемещением частицы в обычном пространстве. Обобщение этой идеи в ядерной физике привело к понятию изотопического спина, который действует в особом изоспиновом пространстве. В дальнейшем при описании сильных взаимодействий были введены внутреннее цветовое пространство и квантовое число «цвет» — более сложный аналог спина.

Спин классических систем

Понятие спина было введено в квантовой теории. Тем не менее, в релятивистской механике можно определить спин классической (не квантовой) системы как собственный момент импульса. Классический спин является 4-вектором и определяется следующим образом:

$S_{\nu }={\frac {1}{2}}\,\varepsilon _{\nu \alpha \beta \gamma }\,L^{\alpha \beta }\,U^{\gamma },$

где

$L^{\alpha \beta }=\sum (x^{\alpha }p^{\beta }-x^{\beta }p^{\alpha })$ — тензор полного момента импульса системы (суммирование проводится по всем частицам системы);

$U^{\alpha }=P^{\alpha }/M$ — суммарная 4-скорость системы, определяемая при помощи суммарного 4-импульса $P^{\alpha }=\sum p^{\alpha }$ и массы M системы;

$\varepsilon _{\nu \alpha \beta \gamma }$ — тензор Леви-Чивиты.

В силу антисимметрии тензора Леви-Чивиты, 4-вектор спина всегда ортогонален к 4-скорости $U^{\alpha }.$ В системе отсчёта, в которой суммарный импульс системы равен нулю, пространственные компоненты спина совпадают с вектором момента импульса, а временная компонента равна нулю.

Именно поэтому спин называют собственным моментом импульса.

В квантовой теории поля это определение спина сохраняется. В качестве момента импульса и суммарного импульса выступают интегралы движения соответствующего поля. В результате процедуры вторичного квантования 4-вектор спина становится оператором с дискретными собственными значениями.

См. также

• Прецессия Томаса
• Спин-орбитальное взаимодействие
• Преобразование Гольштейна — Примакова
• Спинор
• Теорема Паули (Теорема о связи спина со статистикой)
• Синглет
• Спин-запрещенные реакции

Литература

• Физическая энциклопедия / Под ред. А. М. Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 1994. — ISBN 5-85270-087-8.
• Richard G. Milner. A Short History of Spin (англ.) // Contribution to the XVth International Workshop on Polarized Sources, Targets, and Polarimetry. — Charlottesville, Virginia, USA, September 9-13, 2013. — arXiv:1311.5016.
• Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — 672 с.
• Ширков Д. В. Физика микромира. — М.: Советская энциклопедия, 1980. — 527 с.
• Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.: ОГИЗ, 1947. — 333 с.

Статьи

• Hipple, J. A.; Sommer, H.; Thomas, H.A. (1949). A precise method of determining the faraday by magnetic resonance. Physical Review. 76 (12): 1877—1878. Bibcode:1949PhRv...76.1877H. doi:10.1103/PhysRev.76.1877.2.
• Cohen-Tannoudji, Claude. Quantum Mechanics / Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë. — 2 volume set. — John Wiley & Sons, 2006. — ISBN 978-0-471-56952-7.
• Condon, E. U. Especially Chapter 3 // The Theory of Atomic Spectra / E. U. Condon, G. H. Shortley. — Cambridge University Press, 1935. — ISBN 978-0-521-09209-8.