Теорема Громова о числах Бетти

Теорема Громова о числах Бетти даёт верхнюю оценку на сумму чисел Бетти компактного риманова многообразия через нижнюю грань его секционных кривизн, размерность и диаметр.

Комментарии

• В частности, сумма чисел Бетти компактного риманова многообразия размерности $n$ с неотрицательной секционной кривизной ограничено константой $C(n)$.
  • Предположительно $C(n)=2^{n}$, то есть плоский $n$-мерный тор имеет максимальную сумму чисел Бетти среди всех $n$-мерных многообразий неотрицательной секционной кривизны.
  • Известны явные оценки, например $C(n)=10^{3n^{4}+9n^{3}+6n^{2}}$.
• Теорема даёт оценку на эйлерову характеристику $n$-мерного многообразия неотрицательной секционной кривизны.
  • Предположительно все такие многообразия имеют неотрицательную эйлерову характеристику.

Литература

• Gromov, Michael. Curvature, diameter and Betti numbers. (англ.) // Comment. Math. Helv. — 1981. — Vol. 56, no. 2. — P. 179–195.