Теорема Коши о среднем значении

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Коши́ о среднем значении.

Пусть даны две функции и такие, что:

  1. и определены и непрерывны на отрезке ;
  2. производные и конечны на интервале ;
  3. производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале
  4. ;

тогда существует , для которой верно:

.

(Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в ноль нигде в интервале .)

Геометрически это можно переформулировать так: если и задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами и , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от до .

Доказательство[править | править вики-текст]

Для доказательства введём функцию

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю, а равна как раз необходимому числу.

См. также[править | править вики-текст]