Теорема Коши о среднем значении

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Коши́ о среднем значении — обобщение формулы конечных приращений.

Формулировка[править | править код]

Пусть даны две функции и такие, что:

  1. и определены и непрерывны на отрезке ;
  2. производные и определены и конечны на интервале ;
  3. производная не обращается в нуль на интервале (значит, по теореме Ролля, ).

Тогда существует , для которой верно:

Замечания[править | править код]

  • Потребовав явно, что , можно ослабить условие 3 и требовать лишь чтобы и не обращались одновременно в нуль на интервале .
  • Можно полностью опустить условие 3, если переписать формулу следующим образом:
    .
  • Геометрически утверждение можно переформулировать так: если и задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами и , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от до .

Доказательство[править | править код]

Для доказательства введём функцию

Легко видеть, что для неё выполнены условия теоремы Ролля. Воспользовавшись этой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю:

Перенеся в этом равенстве второе слагаемое вправо мы получим формулу из наиболее общей формулировки теоремы.

В оригинальной формулировке остаётся разделить равенство на и . Оба эти числа будут ненулевыми и при ослаблении требования 3 до отсутствия общих нулей у и : для это требуется явно, а если , то

.

Но, так как , отсюда следует, что — противоречие с условием.

Литература[править | править код]