Теорема Коши о среднем значении

Теорема Коши́ о среднем значении — обобщение формулы конечных приращений.

Формулировка

Пусть даны две функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что:

1. $f(x)$ и $g(x)$ определены и непрерывны на отрезке $[a,b]$;
2. производные $f'(x)$ и $g'(x)$ определены и конечны на интервале $(a,b)$;
3. производная $g'(x)$ не обращается в нуль на интервале $(a,b)$ (значит, по теореме Ролля, $g(a)\neq g(b)$).

Тогда существует $\xi \in (a,b)$, для которой верно:

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}.$

Замечания

• Потребовав явно, что $g(a)\neq g(b)$, можно ослабить условие 3 и требовать лишь чтобы $f'(x)$ и $g'(x)$ не обращались одновременно в нуль на интервале $(a,b)$.
• Можно полностью опустить условие 3, если переписать формулу следующим образом:

  ${\big (}f(b)-f(a){\big )}\cdot g'(\xi )={\big (}g(b)-g(a){\big )}\cdot f'(\xi )$.

• Геометрически утверждение можно переформулировать так: если $f$ и $g$ задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр $x$), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами $a$ и $b$, найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от ${\big (}f(a),g(a){\big )}$ до ${\big (}f(b),g(b){\big )}$.

Доказательство

Для доказательства введём функцию

$\varphi (x)={\big (}f(b)-f(a){\big )}{\big (}g(x)-g(a){\big )}-{\big (}g(b)-g(a){\big )}{\big (}f(x)-f(a){\big )}.$

Легко видеть, что для неё выполнены условия теоремы Ролля. Воспользовавшись этой теоремой, получим, что существует точка $\xi \in (a,b)$, в которой производная функции $\varphi$ равна нулю:

$\varphi '(\xi )={\big (}f(b)-f(a){\big )}g'(\xi )-{\big (}g(b)-g(a){\big )}f'(\xi )=0.$

Перенеся в этом равенстве второе слагаемое вправо мы получим формулу из наиболее общей формулировки теоремы.

В оригинальной формулировке остаётся разделить равенство на $g'(\xi )$ и $g(b)-g(a)$. Оба эти числа будут ненулевыми и при ослаблении требования 3 до отсутствия общих нулей у $f'(x)$ и $g'(x)$: для $g(b)-g(a)$ это требуется явно, а если $g'(\xi )=0$, то

${\big (}g(b)-g(a){\big )}f'(\xi )=0$.

Но так как $g(a)\neq g(b)$, отсюда следует, что $f'(\xi )=0$ — противоречие с условием.

Литература

• Теорема Коши о среднем значении в Encyclopedia of Mathematics