Теорема Ролля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) - теорема математического анализа, входящая, вместе с теоремами Лагранжа и Коши, в число так называемых "теорем о среднем значении". Теорема утверждает, что

Если вещественная функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , принимает на концах отрезка одинаковые значения, то на интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Доказательство[править | править код]

Геометрический смысл теоремы Ролля
Следствие теоремы Ролля: между каждыми двумя последовательными корнями многочлена лежит корень его производной

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку функция непрерывна на , то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма производная в этой точке равна 0.

Геометрический и физический (механический) смысл[править | править код]

С геометрической точки зрения теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Механический смысл теоремы в том, что тело, вернувшееся в исходную точку, в некоторый момент в ходе своего движения имело нулевую скорость.

Существенность условий теоремы и соответствующие контрпримеры[править | править код]

Все условия теоремы: непрерывность функции на отрезке, дифференцируемость на интервале и равенство значений на концах отрезка - существенны. При исключении каждого из этих условий легко подобрать контрпример, свидетельствующий, что заключение теоремы становится неверным.

Следствия[править | править код]

1° Если дифференцируемая функция обращается в нуль в различных точках, то её производная обращается в нуль по крайней мере в различных точках[1], причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.

2° Если все корни многочлена -ой степени действительные, то и корни всех его производных до включительно — также исключительно действительные.

3° (Теорема Лагранжа) Дифференцируемая функция на отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей/хорде, проведённой через эти две точки.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. — Численные методы, стр.43

Литература[править | править код]