Теорема Майерса
Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии.
Формулировка[править | править код]
Если кривизна Риччи полного -мерного риманова многообразия ограничена снизу положительной величиной при некотором , то его диаметр не превосходит . Более того, если диаметр равен , то само многообразие изометрично сфере постоянной секционной кривизны .
Следствия[править | править код]
Этот результат остается в силе для универсального накрытия такого риманова многообразия . В частности, универсальное накрытие конеченолистно и значит фундаментальная группа конечна.
История[править | править код]
Для двумерных поверхностей, теорема была доказана Хопфом и Риновым.[1]
Теорема иногда называется в честь Оссиана Бонне из-за другого его результата о классификации поверхностей с положительной Гаусовой кривизны,[2] (этот результат не относится напрямую к утверждению теоремы Майерса).
Теорема доказана Майерсом .[3]
Случай равенства в теореме был доказан Ченгом в 1975 году.[4]
См. также[править | править код]
Примечания[править | править код]
- ↑ Hopf, H.; Rinow, W.; Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche. (German) Comment. Math. Helv. 3 (1931), no. 1, 209–225.
- ↑ Bonnet, Ossian. "Sur quelques propriétés des lignes géodésiques." CR Acad. Sci. Paris 40 (1855): 1311-1313
- ↑ Myers, S. B. (1941), "Riemannian manifolds with positive mean curvature", Duke Mathematical Journal, 8 (2): 401—404, doi:10.1215/S0012-7094-41-00832-3
- ↑ Cheng, Shiu Yuen (1975), "Eigenvalue comparison theorems and its geometric applications", Mathematische Zeitschrift, 143 (3): 289—297, doi:10.1007/BF01214381, ISSN 0025-5874, MR 0378001