Теорема Миттаг-Леффлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции — одна из основных теорем теории аналитических функций, дающая для мероморфных функций аналог разложения рациональной функции на простейшие дроби.

Теорема[править | править вики-текст]

Пусть мероморфная функция f(z) имеет в точках z = a_{k}, |a_{1}| \leqslant |a_{2}| \leqslant ... \leqslant |a_{k}| \leqslant ... полюсы с главными частями g_{k}(\frac{1}{z-a_{k}}) = G_{k}(z) и пусть h_{k}^{(p)} = G_{k}(0) + G_{k}^{1}(0)z + ... + \frac{G_{k}^{(p)}(0)}{p!}z^{p} будут отрезки тейлоровских разложений g_{k}(\frac{1}{z-a_{k}}) по степеням z. Тогда существует такая последовательность целых чисел p_{k} и такая целая функция f_{0}(z), что для всех z \ne a_{k} имеет место разложение f(z) = f_{0}(z) + \sum_{k=1}^{\infty} \left \{ g_{k}(\frac{1}{z-a_{k}})-h_{k}^{p_{k}}(z) \right \}, абсолютно и равномерно сходящееся в любом конечном круге |z| \leqslant A.

Следствие[править | править вики-текст]

Любая мероморфная функция f(z) представима в виде суммы ряда f(z)=h(z)+\sum_{n=0}^\infty\left(g_n(z)-P_n(z)\right), где h — целая функция, g_n — главные части лорановских разложений в полюсах f(z), занумерованных по возрастанию их модулей, и P_n — некоторые многочлены.

Литература[править | править вики-текст]

  • Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — С. 313