Мероморфная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Гамма-функция мероморфна на всей комплексной плоскости (цветом обозначена фаза)

Мероморфная функция одного комплексного переменного в области (или на римановой поверхности ) — голоморфная функция в области , которая в каждой особой точке имеет полюс (таким образом  — изолированная точка множества , не имеющего предельных точек в , и ).

Или проще: Функция комплексной переменной называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.

Совокупность всех мероморфных функций на области является полем относительно обычных поточечных операций с последующим доопределением в устранимых особенностях.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Отношение любых голоморфных в функций, и , является мероморфной функцией в .
  • Обратно, всякая мероморфная функция в области (и на некомпактной римановой поверхности ) представляется в виде , где и голоморфны и не имеют общих нулей в .

Таким образом, на некомпактной римановой поверхности поле совпадает с полем частных кольца голоморфных функций в .

  • Всякая мероморфная функция определяет непрерывное отображение области в сферу Римана , которое является голоморфным отображением относительно стандартной комплексной структуры .
  • Обратно, всякое голоморфное отображение , определяет мероморфную функцию на . При этом множество полюсов совпадает с дискретным множеством .

Таким образом, мероморфные функции одного комплексного переменного можно отождествлять с голоморфными отображениями в сферу Римана.

  • На всякой некомпактной римановой поверхности существует мероморфная функция с заданными полюсами и заданными в каждом из них главной частью разложения Лорана (Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции).
  • На компактной римановой поверхности (например, на торе) эта задача в общем неразрешима — нужны дополнительные условия согласования главных частей.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.