Мероморфная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Гамма-функция мероморфна на всей комплексной плоскости (цветом обозначена фаза)

Мероморфная функция (от греч. μέρος — «часть» и μορφή — «форма») одного комплексного переменного в области (или на римановой поверхности ) — голоморфная функция в области , которая в каждой особой точке имеет полюс (таким образом  — изолированная точка множества , не имеющего предельных точек в , и ).

Определение[править | править код]

Вещественная мероморфная функция задается тройкой где есть компактной римановой поверхностью, - антиголоморфная инволюция (инволюция комплексного сопряжения), а есть отображение на сферу Римана (). При этом она должна удовлетворять условию при всех Всякая вещественная функция строится по некоторой вещественной алгебраической функции: любой полином с вещественными коэффициентами является вещественной мероморфной функцией. Множество неподвижных точек инволюции состоит из простых попарно непересекающихся замкнутых контуров (овалов). Если является связным (несвязным), то кривая называется неразделяющей (разделяющей). Вещественная мероморфная функция переводит овал вещественной кривой в контур где Степень отображения определяется как Индекс функции на овале - абсолютное значение степени

Пространство вещественных мероморфных функций состоит из счетного числа компонент связности, где каждая компонента является незамкнутым конечномерным вещественным многообразием и выделяется заданием целочисленных топологических инвариантов. Например, инвариантами являются степень отображения и род кривой Топологический тип функции - набор чисел (), где - число листов накрытия множество - совокупность индексов функции на овалах, а - число, равное 1 для разделяющих кривых, а 0 - для неразделяющих. [1]

Совокупность всех мероморфных функций на области является полем относительно обычных поточечных операций с последующим доопределением в устранимых особенностях.

Свойства[править | править код]

  • Отношение любых голоморфных в функций, и , является мероморфной функцией в .
  • Обратно, всякая мероморфная функция в области (и на некомпактной римановой поверхности ) представляется в виде , где и голоморфны и не имеют общих нулей в .

Таким образом, на некомпактной римановой поверхности поле совпадает с полем частных кольца голоморфных функций в .

  • Всякая мероморфная функция определяет непрерывное отображение области в сферу Римана , которое является голоморфным отображением относительно стандартной комплексной структуры .
  • Обратно, всякое голоморфное отображение , определяет мероморфную функцию на . При этом множество полюсов совпадает с дискретным множеством .

Таким образом, мероморфные функции одного комплексного переменного можно отождествлять с голоморфными отображениями на сферу Римана.

  • На всякой некомпактной римановой поверхности существует мероморфная функция с заданными полюсами и заданными в каждом из них главной частью разложения Лорана (Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции).
  • На компактной римановой поверхности (например, на торе) эта задача в общем неразрешима — нужны дополнительные условия согласования главных частей.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. С. М. Натанзон, Вещественные мероморфные функции на вещественных алгебраических кривых, Докл. АН СССР, 1987, том 297, номер 1, 40–43.

Ссылки[править | править код]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.