Теорема Монтеля о компактном семействе функций

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Монтеля об условиях компактности семейства голоморфных функций или принцип компактности:

Пусть ― бесконечное семейство голоморфных функций в области комплексной плоскости ; тогда для того чтобы это семейство было предкомпактным, то есть чтобы из любой последовательности можно было выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри , необходимо и достаточно, чтобы семейство было равномерно ограничено внутри .


Теорема Монтеля обобщается на области в пространстве , .

Теорема Монтеля есть следствие теоремы Арцела-Асколи, оценок на производные аналитической функции (неравенства Коши) и сепарабельности всякой области в .

Следствия[править | править вики-текст]

  • Следствием теоремы Монтеля является следующий факт: Если область компактно лежит в области , тогда оператор ограничения на область D функций, голоморфных в G, компактен (в топологии локально-равномерной сходимости функций).
  • Теорема Монтеля используется при доказательстве теоремы Римана о конформном отображении (нужное конформное отображение ищется как то, которое максимизирует модуль производной в некоторой точке, а существование такого отображения следует из непрерывности этого функционала и компактности семейства функций со значениями в единичном круге).