Теорема Планшереля

Теорема Планшереля — утверждение о свойствах преобразования Фурье. Она утверждает, что для всякой функции, квадрат модуля которой интегрируем, существует и однозначно определена с точностью до значений на множестве меры нуль функция, являющаяся её преобразованием Фурье. Была доказана Планшерелем в 1910 году. Играет важную роль в функциональном анализе.

Формулировка

Для всякой функции действительного переменного $f(x)$, принадлежащей множеству функций, чей квадрат модуля интегрируем $L^{2}$ на интервале $\left(-\infty ,\infty \right)$, существует такая функция действительного переменного $g(x)$, также принадлежащая $L^{2}$ на интервале $\left(-\infty ,\infty \right)$, что

$\lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-A}^{A}f(x)e^{iux}dx\right|^{2}du=0$.

Также выполняются равенства:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)\right|^{2}du=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}dx$

и

$\lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-A}^{A}g(u)e^{-iux}du\right|^{2}dx=0$.

Функция $g(u)$, являющаяся преобразованием Фурье функции $f(x)$, однозначно определена с точностью до её значений на множестве меры нуль .

См. также

• Преобразование Фурье
• Lp (пространство)

Литература

• C. Бохнер Лекции об интегралах Фурье. — М., Физматлит, 1962. — 360 c.