Lp (пространство)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

(также встречается обозначение ; читается «эль-пэ»; также — лебеговы пространства) — это пространства измеримых функций, таких, что их -я степень интегрируема, где .

 — важнейший класс банаховых пространств. (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Построение[править | править вики-текст]

Для построения пространств используются -пространства. Пространство для пространства с мерой и  — множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что:

.

Как следует из элементарных свойств интеграла Лебега и неравенства Минковского, пространство линейно.

На линейном пространстве вводится полунорма:

.

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы[1]

Далее, на вводится отношение эквивалентности: , если почти всюду. Это отношение разбивает пространство на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают. На построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности) можно ввести норму, равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Факторпространство с построенной на нём нормой, и называется пространством или просто .

Чаще всего данное построение имеют в виду, но не упоминают явно, а элементами называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, определённые «с точностью до меры нуль».

При , не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника[2], однако образуют метрические пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.

Полнота[править | править вики-текст]

Норма на вместе с линейной структурой порождает метрику:

,

а следовательно, на пространствах возможно определить сходимость: последовательность функций называют сходящейся к функции , если:

при .

Согласно теореме Риса — Фишера, пространство полно, то есть любая фундаментальная последовательность в сходится к элементу этого же пространства. Таким образом  — банахово пространство.

Пространство L²[править | править вики-текст]

В случае норма порождается скалярным произведением. Таким образом, вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность, проекция.

Скалярное произведение на пространстве вводится следующим образом:

,

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или:

,

если они вещественные. Тогда, очевидно:

,

то есть норма порождается скалярным произведением. В виду полноты любого следует, что  — гильбертово.

Пространство L[править | править вики-текст]

Пространство строится из пространства измеримых функций, ограниченных почти всюду, отождествлением между собой функций, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению:

, где  — существенный супремум функции.

 — банахово пространство.

Метрика, порождаемая нормой , называется равномерной. Также называется и сходимость, порождённая такой метрикой:

в , если при .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве . Пусть при и при , . Тогда почти всюду. Но . Обратное также неверно.
  • Если при , то существует подпоследовательность , такая что почти всюду.
  • функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть  — подмножество , состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда всюду плотно в .
  •  — сепарабельно при .
  • Если  — конечная мера, например, вероятность, и , то . В частности, , то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Сопряжённые пространства[править | править вики-текст]

Для пространств , сопряжённое к (пространств линейных функционалов на ) имеет место следующее свойство: если , то изоморфно (), где . Любой линейный функционал на имеет вид:

где .

В силу симметрии уравнения , само пространство дуально (с точностью до изоморфизма) к , а следовательно:

Этот результат справедлив и для случая , то есть . Однако, и, в частности, .

Пространства p[править | править вики-текст]

Пусть , где  — счётная мера на , то есть . Тогда если , то пространство представляет собой семейство последовательностей , таких что:

.

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

.

Получившееся нормированное пространство обозначается .

Если , то рассматривается пространство ограниченных последовательностей с нормой:

.

Получившееся пространство называется , оно является примером несепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив , получается гильбертово пространство , чья норма порождена скалярным произведением:

,

если последовательности комплекснозначные, и:

если они вещественны.

Пространство, сопряжённое с , где изоморфно , . Для . Однако, .

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Введённая таким образом полунорма не является нормой, ибо если почти всюду, то , что противоречит требованиям к норме. Чтобы превратить пространство с полунормой в пространство с нормой, необходимо «отождествить» функции, различающиеся между собой лишь на множестве меры нуль.
  2. Точнее, выполняется обратное неравенство треугольника — при :

Литература[править | править вики-текст]