Теорема Риса — Фишера

Теорема Риса — Фишера — утверждение функционального анализа об изометричности и изоморфности пространства Лебега $L_{2}\left(a,b\right)$ и пространства Гильберта $l_{2}$ .

Доказана в 1907 году независимо Фридьешем Рисом и Эрнстом Фишером (нем. Ernst Sigismund Fischer).

Доказательство

Возьмём в пространстве $L_{2}\left(a,b\right)$ какую-нибудь полную ортонормальную систему $\left\{\varphi _{i}(t)\right\}$ . Тогда для любого $x(t)\in L_{2}\left(a,b\right)$ имеем $x(t)=\sum _{i=1}^{\infty }\xi _{i}\varphi _{i}(t),\xi _{i}=\left(x,\varphi _{i}\right)$ , причем в силу равенства Парсеваля $\sum _{i=1}^{\infty }\xi _{i}^{2}=\left\|x\right\|^{2}<\infty$ . Таким образом, последовательность коэффициентов Фурье функции $x(t)\in L_{2}\left(a,b\right)$ можно рассматривать как элемент $x\in l_{2}$ гильбертова пространства $l_{2}$ $x=\left\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n},...\right\}$ . При этом соответствие $x(t)\rightarrow x$ однозначно. Пусть, наоборот, дан элемент ${\bar {y}}=\left\{\eta _{1},\eta _{2},...,\eta _{n},...\right\}$ гильбертова пространства $l_{2}$ . Рассмотрим в $L_{2}\left(a,b\right)$ формально ряд $\sum _{i=1}^{\infty }\eta _{i}\varphi _{i}(t)$ , где $\left\{\varphi _{i}(t)\right\}$ — та же самая полная ортонормальная система. Последовательность $s_{n}(t)=\sum _{i=1}^{n}\eta _{i}\varphi _{i}(t)$ частичных сумм этого ряда сходится в среднем в себе, ибо $\left\|s_{n+p}-s_{n}\right\|^{2}=\left\|\sum _{i=n+1}^{n+p}\eta _{i}\varphi _{i}(t)\right\|^{2}=\sum _{i=n+1}^{n+p}\eta _{i}^{2}\rightarrow 0$ при $n\rightarrow \infty$ и $p>0$ в силу сходимости ряда $\sum _{i=1}^{\infty }\eta _{i}^{2}$ . Так как пространство $L_{2}\left(a,b\right)$ полное, это значит, что ряд $\sum _{i=1}^{\infty }\eta _{i}\varphi _{i}(t)$ сходится, его сумма имеет коэффициенты Фурье $\eta _{i}$ и эту сумму $y(t)\in L_{2}\left(a,b\right)$ ставим в соответствие элементу ${\bar {y}}$ . Опять соответствие ${\bar {y}}\rightarrow y(t)$ однозначно. Итак, мы установили взаимно однозначное соответствие между элементами пространства $L_{2}\left(a,b\right)$ и $l_{2}$ . Так как, очевидно $x(t)+y(t)=\sum _{i=1}^{\infty }\xi _{i}\varphi _{i}(t)+\sum _{i=1}^{\infty }\eta _{i}\varphi _{i}(t)=\sum _{i=1}^{\infty }\left(\xi _{i}+\eta _{i}\right)\varphi _{i}(t)$ и $\lambda x(t)=\lambda \sum _{i=1}^{\infty }\xi _{i}\varphi _{i}(t)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda \xi _{i}\varphi _{i}(t)$ , то из $x(t)\leftrightarrow x,y(t)\leftrightarrow y$ следует $x(t)+y(t)\leftrightarrow x+y,\lambda x(t)\leftrightarrow \lambda x$ , то есть установленное нами соответствие есть изоморфизм. Наконец, для любых двух элементов $x(t),y(t)\in L_{2}\left(a,b\right)$ имеем в силу равенства Парсеваля $\left\|x(t)-y(t)\right\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{\infty }\left(\xi _{i}-\eta _{i}\right)\varphi _{i}(t)\right\|^{2}=\sum _{i=1}^{\infty }\left(\xi _{i}-\eta _{i}\right)^{2}=\left\|x-y\right\|^{2}$ и установленное нами соответствие сохранит расстояние, то есть $L_{2}\left(a,b\right)$ и $l_{2}$ изометричны.