Тригонометрический ряд Фурье

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции с периодом в виде ряда

(1)

или используя комплексную запись, в виде ряда:

.

Скалярное произведение и ортогональность[править | править код]

Пусть ,  — две функции пространства . Определим их скалярное произведение

Условие ортогональности

где  — символ Кронекера. Таким образом, скалярное произведение ортогональных функций равно квадрату нормы функции при или нулю в противном случае.

Следующее наблюдение является ключевым в теории рядов Фурье: функции вида , попарно ортогональны относительно этого скалярного произведения, то есть при всех целых неотрицательных :

и при всех целых неотрицательных ,

.

Ещё одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в пространстве . Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида , то она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду).

Классическое определение[править | править код]

Тригонометрическим рядом Фурье функции называют функциональный ряд вида

(1)

где

Числа , и () называются коэффициентами Фурье функции . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты , и . Если умножить правую часть (1) на и проинтегрировать по промежутку , благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент . Аналогично для

Ряд (1) сходится к функции в пространстве . Иными словами, если обозначить через частичные суммы ряда (1):

,

то их среднеквадратичное отклонение от функции будет стремиться к нулю:

.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно(см.ниже).

Комплексная запись[править | править код]

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство комплекснозначных функций со скалярным произведением

.

Мы также рассматриваем систему функций

.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция может быть разложена по ним в ряд Фурье:

,

где ряд в правой части сходится к по норме в . Здесь

.

Коэффициенты : связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

  • Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения и не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

Свойства тригонометрического ряда Фурье[править | править код]

Все утверждения этого параграфа верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве .

  • Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:
  • Справедливо равенство Парсеваля:
.
  • Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:
  • коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей:
  • рассмотрим операцию свертки функций:

где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка на всю прямую. Тогда

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
  • Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
  • Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.