Выражение, стоящее слева в условии теоремы, называется обобщенной второй производной функции . Если имеет обыкновенную вторую производную, то обобщенная вторая производная равна ей и доказывать нечего.
Рассмотрим функцию . Очевидно, и . Для доказательства теоремы покажем, что при всех значениях . Предположим, что принимает положительные значения. Пусть в некоторой точке . Введем функцию , где - малое положительное число, такое, что . Функция имеет положительную верхнюю грань и достигает её, в силу своей непрерывности, в некоторой точке . Очевидно . Но и при правая часть стремится к . Получено противоречие. К подобному же противоречию приводит предположение, что принимает отрицательные значения. Следовательно, при всех значениях и есть линейная функция.