Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров
![]() | Эту статью предлагается удалить. |
Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров — теорема, формулирующая свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами. Характер зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров представляет значительный интерес для практики.[1]
Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров вместе с подробным доказательством излагается в университетских учебниках МГУ[2][3], учебнике для инженерно-физических и физико-технических специальностей вузов[4]. Значимость теоремы о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров определяется тем, что при описании физических систем посредством дифференциальных уравнений эмпирические оценки внешних воздействий и параметров начального положения производятся обычно с некоторой ошибкой. Для того, чтобы решение дифференциального уравнения, которое описывает физический процесс, имело практическую ценность, необходимо быть уверенным, что небольшие ошибки в параметрах ведут к небольшим изменениям в решении.[4]
Формулировка
[править | править код]Система обыкновенных дифференциальных уравнений
-
(1)
где — независимая скалярная переменная, — вектор, — вектор, , — векторная функция вектора , вектора и скаляра , знак означает производную по .
Если все функции , и все их частные производные до -го порядка по всем и непрерывны по всем их аргументам и ограничены, когда точка находится в области , а , где — некоторое положительное число, то для каждой внутренней точки области можно указать такой интервал , заключающий внутри себя точку , что при всех рассматриваемых на нём существует одна и только одна система функций
которые удовлетворяют системе (1), имеют непрерывные производные до -го порядка по всем и при обращаются в . Эта теорема остаётся верной и для , если функции удовлетворяют условию Липшица по с коэффициентом, не зависящим от .[5]
Пояснения
[править | править код]Областью называется непустое множество точек, обладающее следующими двумя свойствами:
- Каждая точка есть внутренняя, то есть она имеет окрестность, целиком принадлежащую G.
- Множество связно, те любые две его точки можно соединить состоящей из конечного
числа звеньев ломаной, целиком лежащей внутри . [6]
Примечания
[править | править код]- ↑ Лизоркин, 1981, с. 59.
- ↑ Л. С. Понтрягин Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М., Наука, 1970. — с. 178—195
- ↑ И. Г. Петровский Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М., Наука, 1970. — с. 82-86
- ↑ 1 2 П. И. Лизоркин Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. — М., Наука, 1981. — с. 56-59
- ↑ Петровский, 1949, с. 110—111.
- ↑ Петровский, 1949, с. 9.
Литература
[править | править код]- И.Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.,Л.: ГосТехТеорИздат, 1949. — 208 с.
- П.И. Лизоркин. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. — М.: Наука, 1981. — 384 с.