Теорема о трёх перпендикулярах

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формулировка теоремы[править | править вики-текст]

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Geom4-1.GIF

Доказательство[править | править вики-текст]

Пусть — перпендикуляр к плоскости , — наклонная и — прямая в плоскости , проходящая через точку и перпендикулярная проекции . Проведем прямую параллельно прямой . Прямая перпендикулярна плоскости (так как она параллельна ), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, перпендикулярна прямой . Проведем через параллельные прямые и плоскость (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости , это по условию и по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой .

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах[править | править вики-текст]

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Доказательство[править | править вики-текст]

Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости α, АС — наклонная и с — прямая в плоскости α, проходящая через основание наклонной С. Проведем прямую СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости α (по этой теореме, так как она параллельна АВ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с. Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым лежащим в плоскости β, это АС по условию и СК по теореме о трех перпендикулярах, значит она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС. Другими словами проекция ВС перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости α.

Geom4-2.GIF

Пример использования[править | править вики-текст]

Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Решение[править | править вики-текст]

Решение: пусть а — прямая и А — точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость α. В плоскости α через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.

Ссылки[править | править вики-текст]