Теорема полноты

Теорема полноты — утверждение о свойствах представлений конечных групп о том, что любую функцию на конечной группе можно разложить по элементам матрицы неприводимых представлений этой группы. Коэффициенты этого разложения называются коэффициентами Фурье по аналогии с теорией тригонометрических рядов. Играет важную роль при применении методов теории групп в физике^[1].

Формулировка[править | править код]

Любую функцию $F(h)$ на конечной группе $G$ можно разложить по матричным элементам неприводимых представлений:

F(h)=\sum _{i=1}^{\sigma }\sum _{m,n=1}^{s_{i}}C_{mn}^{(i)}\tau _{mn}^{(i)}(h)

,

здесь: $\sigma$ - общее число неэквивалентных неприводимых представлений группы $G$ , $s_{i}$ - число векторов канонического базиса $i$ - го неприводимого представления, $\tau _{mn}^{(i)}$ - элементы матрицы $i$ - го неприводимого представления.

Доказательство[править | править код]

Зададим регулярное представление $T$ на группе $G$ при помощи оператора $T(g)$ , действующего в пространстве $\Phi$ функций на группе и определенного соотношением

T(g)\phi (h)=\psi (h)\equiv \phi (hg)

(1),

где $\phi (h)$ - произвольная функция на группе.

Оператор $T(g)$ задаёт представление $T$ группы $G$ в пространстве $\Phi$ , так как $T(e)=E$ и $T(g_{1})T(g_{2})=T(g_{1}g_{2})$ в силу $T(g_{1})T(g_{2})\phi (h)=T(g_{1})\psi (h)=\psi (hg_{1})=\phi (hg_{1}g_{2})=T(g_{1}g_{2})\phi (h)$ .

Пространство $\Phi$ можно представить в виде суммы подпространств:

\Phi =\sum _{\alpha =1}^{\sigma }\sum _{m=1}^{m_{\alpha }}\Phi _{m}^{(\alpha )}

вследствие того, что, как всякое представление конечной группы, представление $T$ является суммой неприводимых представлений. Здесь $\Phi _{m}^{(\alpha )},m=1,...,m_{\alpha }$ - подпространства, преобразующиеся под действием оператора $T(g)$ по неприводимому представлению $\tau _{\alpha }$ , $m_{\alpha }$ - целое число, означающее число вхождений представления $\tau _{\alpha }$ в регулярное представление $T$ .

Воспользуемся тем, что в каждом подпространстве $\Phi _{m}^{(\alpha )}$ существует канонический базис, совокупность функций $\phi _{j}^{\alpha m}(h),j=1,2,...,s_{\alpha }$ , преобразующихся под действием операторов $T(g)$ как:

T(g)\phi _{j}^{\alpha m}(h)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\phi _{l}^{\alpha m}(h)

(2)

Базис в пространстве $\Phi$ можно получить, объединив базисные функции всех его подпространств и вычислив таким образом коэффициенты $C_{j}^{\alpha m}$ . В результате получим:

F(h)=\sum _{\alpha =1}^{\sigma }\sum _{m=1}^{m_{\alpha }}\sum _{j=1}^{s_{\alpha }}C_{j}^{\alpha m}\phi _{j}^{(\alpha m)}

(3)

Для завершения доказательства определим функции $\phi _{j}^{(\alpha m)}$ . Из формул (1, 2) получаем:

\phi _{j}^{\alpha m}(hg)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\phi _{l}^{(\alpha m)}(h)

Положим в этой формуле $h=e$ . Формула примет вид:

\phi _{j}^{\alpha m}(g)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\phi _{l}^{(\alpha m)}(e)

Таким образом, всякая функция $\phi _{j}^{\alpha m}(g)$ раскладывается в ряд по матричным элементам $\tau _{lj}^{\alpha }(g),l=1,2....,s_{\alpha }$ . Из равенства (3) следует, что и произвольная функция $F(h)$ обладает таким же свойством^[2].