Формула Карно

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Теоремы Карно»)
Перейти к: навигация, поиск

Формула Карно — теорема геометрии треугольника. Даёт соотношение на расстояния от центра описанной окружности до сторон треугольника, и радиусы его вписанной и описанной окружностей. Названа в честь Лазара Карно (17531823).

Формулировка[править | править код]

Пусть D — центр описанной окружности треугольника ABC. Тогда сумма расстояний от D до сторон треугольника ABC, взятых со знаком минус, когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна , где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной. В частности

при правильном выборе знаков[1]:p.83.

Другая формулировка[править | править код]

Формула Карно[2]:

где  — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон треугольника,  — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны треугольника равно:

расстояние от ортоцентра например до вершины треугольника равно:

Замечания[править | править код]

  • В доказательстве теоремы используется теорема Птолемея.
  • Формулу Карно часто называют теоремой Карно.

Следствия[править | править код]

  • Японская теорема о вписанном многоугольнике. Если вписанный -угольник разрезать на треугольникa непересекающимися диагоналями, то сумма радиусов их вписанных окружностей не зависит от способа разрезания.
    • Более того выпуклый -угольник является вписанным если это условие соблюдается.

Japanese theorem green.svg

Japanese theorem red.svg

Суммы радиусов зелёных и красных окружностей равны.

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
  2. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.