Уравнение Лондонов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Лондонов (в некоторых источниках — уравнение Лондона) устанавливает связь между током и магнитным полем в сверхпроводниках. Впервые оно было получено в 1935 г. братьями Фрицем и Хайнцем Лондонами[1]. Уравнение Лондонов дало первое удовлетворительное объяснение эффекта Мейсснера — спадания магнитного поля в сверхпроводниках. Затем в 1953 г. было получено уравнение Пиппарда для чистых сверхпроводников.

Уравнение Лондона[править | править вики-текст]

В полной мере смысл механизма упорядочения в сверхпроводимости был впервые осознан физиком-теоретиком Фрицем Лондоном[2]. Осознав, что электродинамическое описание, основанное исключительно на уравнениях Максвелла, в пределе нулевого сопротивления неизбежно будет предсказывать необратимое поведение идеального проводника и не будет давать обратимый диамагнетизм сверхпроводника, Лондон ввел дополнительное уравнение. Вид этого уравнения можно получить различными способами, например путём минимизации свободной энергии относительно распределения тока и поля[3] или в предположении абсолютной жесткости сверхпроводящих волновых функций по отношению к воздействию внешнего поля; для наших целей, однако, достаточно считать его интуитивной гипотезой, полностью оправдываемой своим успехом.

Уравнение, предложенное Лондоном, имеет вид

где  — плотность тока,  — магнитная индукция, , m и q — масса и заряд сверхпроводящих носителей тока, n — плотность этих носителей.

Лондоновская глубина проникновения[править | править вики-текст]

При помощи уравнения Максвелла можно записать уравнение Лондона в виде

или

.

Решение этого уравнения в сверхпроводящей области с линейными размерами, намного большими , есть , где  — индукция на глубине под поверхностью. Параметр имеет размерность длины и называется лондоновской глубиной проникновения магнитного поля. То есть магнитное поле проникает в сверхпроводник лишь на глубину . Для металлов мкм.

Природа сверхпроводимости[править | править вики-текст]

Уравнение Лондона дает нам ключ к пониманию природы сверхпроводящего упорядочения. Вводя векторный потенциал , где , используя калибровку и рассматривая односвязный сверхпроводник, мы приходим к уравнению Лондона в форме

В присутствии векторного потенциала обобщенный импульс заряженной частицы дается выражением .

Средний импульс на одну частицу можно записать в виде

Следовательно, сверхпроводящий порядок обусловлен конденсацией носителей тока в состоянии с наименьшим возможным импульсом . При этом из принципа неопределенности вытекает, что соответствующий пространственный масштаб упорядоченности бесконечен, то есть мы получаем бесконечную «когерентность» и невозможность воздействовать на систему электронов локализованными в пространстве полями.

Первое уравнение Лондонов[править | править вики-текст]

Уравнение движения для единичного объема сверхпроводящих электронов в электрическом поле имеет вид:

,

где , , - соответственно концентрация, скорость и масса (сверхпроводящих) электронов. Вводя плотность сверхтока согласно, получим первое уравнение Лондонов:

.

Второе уравнение Лондонов (Вывод)[править | править вики-текст]

Воспользуемся уравнениями Максвелла в виде:

для нахождения объемной плотности кинетической энергии сверхпроводящих электронов:

, где .

Также магнитной энергии равна , тогда свободная энергия может быть записана в виде ( - свободная энергия без магнитного поля) интеграла по объему сверхпроводника:

.

Первая вариация по полю равна:

Учитывая, что второй интеграл равен нулю (по формуле Гаусса-Остроградского он сводится к интегралу по поверхности, где вариация полагается нулю), имеем

Что вместе с выражением для векторного потенциала , первым уравнением Лондонов и выбором калибровки Лондонов дает искомое уравнение:

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. London, F.; H. London (March 1935). «The Electromagnetic Equations of the Supraconductor». Proc. Roy. Soc. (London) A149 (866): 71.
  2. F. London, Superfluids, Vol. 1. Wiley, New York, 1950.
  3. P. G. de Gennes, Superconductivity of Metals and Alloys. Benjamin, New York,. 1966 (см. перевод: М., «Мир», 1968).

Литература[править | править вики-текст]

  • Тилли Д. Р., Тилли Дж. Свехтекучесть и сверхпроводимость. — М.: Мир, 1977. — 304 с.