Уравнение Фишера

Уравнение Фишера (также называемое эффектом Фишера и гипотезой Фишера) — уравнение, описывающее связь между темпом инфляции, номинальной и реальной ставками процента. Названо в честь Ирвинга Фишера.

Уравнение

Уравнение имеет следующий вид.

$i=r+\pi$,

где $i$ — номинальная ставка процента; $r$ — реальная ставка процента; $\pi$ — темп инфляции.

Экономический смысл

Уравнение в приближенной форме (см. Вывод) описывает явление, которое называется эффектом Фишера. Эффект состоит в том, что номинальная ставка процента может измениться по двум причинам:

• из-за изменений реальной ставки процента;
• из-за изменения темпа инфляции.

Уровень цен в экономике со временем меняется. Инвестор также размещает деньги под проценты на определенный срок. Поэтому он заинтересован в том, чтобы получить не только определенный доход, но и компенсировать падение покупательной способности денег в будущем. Например, если инвестор положил на банковский счёт сумму денег, приносящую 10 % годовых ежегодно, то номинальная ставка составит 10 %. При уровне инфляции 6 % реальная ставка составит только 4 %.

В уравнении может использоваться как фактический темп инфляции $\pi$, так и его ожидаемое значение $\pi ^{e}$. В первом случае, формула позволяет вычислить реальную ставку на основе полученной номинальной доходности и фактического роста цен. Во втором случае инвестор может определить для себя ожидаемую номинальную доходность, исходя из прогнозируемых значений.

Вывод

Уравнение в приведенной выше форме является приближенным. Оно выполняется тем точнее, чем меньше по модулю значения $r$ и $\pi$. Поэтому с математической точки зрения правильно писать приближенное равенство:

$i\approx r+\pi$,

Точная запись уравнения выглядит следующим образом:

$1+i=(1+r)\times (1+\pi )$

Если раскрыть скобки, то получится следующая запись:

$1+i=1+r+\pi +r\pi$

или

$i=r+\pi +r\pi$

С точки зрения математического анализа, если $r$ и $\pi$ стремятся к нулю, то произведение $r\pi$ является бесконечно малой более высокого порядка. Поэтому при малых (по модулю) значениях $r$ и $\pi$ произведением $r\pi$ можно пренебречь. В результате получится упомянутая выше приближенная запись.

Пусть, например, $r=\pi =1\%$. Тогда сумма этих величин равна 2 %, а произведение — 0,01 %. Если же взять $r=\pi =10\%$, то сумма получится равной 20 %, а произведение 1 %. Таким образом, с ростом значений погрешность в расчетах становится все больше.

Точную запись можно также преобразовать к следующему виду, предложенному Фишером:

$r={\frac {1+i}{1+\pi }}-1={\frac {i-\pi }{1+\pi }}$

В тривиальных случаях при $\pi =0$ или $\pi =i$ обе формулы (точная и приближенная) дают одинаковое значение реальной процентной ставки.

См. также

• Процентная ставка
• Инфляционные ожидания

Литература

• Вечканов Г. C., Вечканова Г. Р. Макроэкономика. — СПб.: Питер, 2008. — С. 55. — (Серия «Краткий курс»). — ISBN 978-5-91180-108-3.
• Четыркин Е. М. Финансовая математика: Учеб.. — М.: Дело, 2000. — 400 с.