Уравнения Аппеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В классической механике уравне́ния Аппе́ля рассматривают как альтернативную формулировку общих уравнений движения, предложенных Ньютоном. Выписаны Полем Аппелем в 1900 [1]. Несмотря на то, что эти уравнения полностью эквивалентны уравнениям, получаемым из законов Ньютона и принципа наименьшего действия, уравнения Аппеля в ряде случаев оказываются более удобными, в частности, в случае, когда система стеснена механическими связями.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть задана механическая система из материальных точек с массами , на которые наложены геометрические (1) и линейные кинематические (2) связи:

(1)
(2)

Требуется описать движение системы, если известны активные силы (силы, действующие на каждую точку, зависят от времени, расположения всех точек и их скоростей), и известно начальное состояние системы (положение и скорости всех точек в начальный момент времени).

Одно из важнейших предположений о механической системе, необходимое для справедливости уравнений Аппеля, состоит в том, что возникающие реакции связей предполагаются идеальными, то есть суммарно не производящими работы на любом виртуальном перемещении точек системы.

В случае голономной системы, когда кинематические связи отсутствуют или интегрируемы (то есть сводятся к геометрическим связям), уравнения Аппеля имеют вид:

(3)

где

 — число геометрических степеней свободы системы;
 — произвольная система независимых между собой обобщённых координат, параметризующих пространство возможных геометрических положений системы во всякий момент времени (таким образом, использование этих координат полностью учитывает геометрические связи, наложенные на систему);
 — «обобщенные силы» — коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил на произвольном виртуальном перемещении :
(4)  — так называемая «энергия ускорений», в формуле (3) величина  — функция времени, обобщённых координат и их производных 1-го и 2-го порядков.

В неголономном случае уравнения Аппеля имеют практически тот же самый вид (3), однако в этом случае в формулах участвуют не обобщённые координаты, а псевдокоординаты, которые вводятся следующим образом:

(5) .

В этих обозначениях точка сверху над именем переменной не обозначает операцию дифференцирования по времени, а составляет часть единого имени переменной. Переменной , производная которой по времени совпадала бы с написанным выражением для любых путей движения системы, может не существовать, поэтому о ней говорят как о псевдопеременной (или о псевдокоординате). Во все дальнейшие формулы будут входить либо её производные (как минимум первого порядка), либо дифференциалы, поэтому её псевдо-сущность никак не проявится.

Коэффициенты и могут зависеть от времени и координат точек. Кроме того, они должны удовлетворять условию, чтобы определитель матрицы коэффициентов при переменных в линейной системе, образованной уравнениями (5) и (2) (записанных в обобщённых координатах), не обращался бы в ноль.

В случае неголономной системы уравнения Аппеля имеют вид:

(6)

где

 — число геометрических степеней свободы системы;
 — система псевдокоординат;
 — «обобщенные силы» — коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил: ;
функция S — та же, что в (4), но выраженная через переменные (в обозначениях переменных только одна из точек — производная по времени!).

Чтобы получить полную систему уравнений движения системы, к уравнениям Аппеля (6) необходимо добавить уравнения кинематических связей (2) и формулы псевдокоординат (5).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Appell, P (1900). «"Sur une forme générale des équations de la dynamique."». Journal für die reine und angewandte Mathematik 121.

Литература[править | править вики-текст]

Публикации П. Аппеля по данному вопросу[править | править вики-текст]

Дополнительная литература[править | править вики-текст]