Теория Купмана — фон Неймана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорией Ку́пмана — фон Не́ймана (KvN-теорией) в математической физике называется оригинальная переформулировка классической статистической механики, созданная американскими математиками Джоном фон Нейманом и Бернардом Купманом. Формализм механики Купмана — фон Неймана максимально приближен к формализму нерелятивистской квантовой механики: состояние динамической системы в ней описывается при помощи классической волновой функции, являющейся аналогом квантовомеханической волновой функции, классическое уравнение Лиувилля приобретает математическую структуру уравнения Шрёдингера и т. д.

Идеологически KvN-теория диаметрально противоположна представлению Вигнера, в котором сходная идея унификации математического аппарата классической статистической и квантовой физики достигается, наоборот, путём преобразования волновой функции, которая появляется в уравнении Шрёдингера, в функцию Вигнера, определённую в классическом фазовом пространстве. Знаменательно, что обе эти теории были созданы практически одновременно — в 19311932 годах.

История создания[править | править код]

Истоки KvN-теории тесно вплетены в историю возникновения эргодической теории как самостоятельного раздела математики. К началу 1931 года серьёзной проблемой теоретической физики оставалось отсутствие приемлемого математического обоснования эргодической гипотезы, сформулированной Л. Больцманом ещё в 1887 году. Это, в частности, мешало последовательно вывести законы термодинамики газов, взяв за исходный пункт микроскопическую картину движения большого ансамбля молекул, происходящего в соответствии с законам ньютоновской механики[1].

Прямой предпосылкой к решению проблемы может считаться работа 1930 года американского математика Маршалла Стоуна по спектральной теории однопараметрических групп унитарных операторов[2]. Уже в следующем году была опубликована ключевая работа Купмана[3], который заметил, что фазовое пространство классической системы, эволюционирующей в соответствии со стандартными законами классической механики, может быть преобразовано в гильбертово пространство путём постулирования естественного правила интегрирования по точкам фазового пространства в качестве определения скалярного произведения[4]. Замечательно, что эволюция физических переменных при этом начинает описываться унитарными операторами, образующими однопараметрическую группу, для которой справедливы результаты Стоуна.

Такое операторное представление классической механики было в то время совершенно новой идеей; оно побудило фон Неймана, одного из основателей квантовой механики и ведущего эксперта в теории операторов, попробовать применить теоретико-операторный подход к решению эргодической проблемы. Опираясь на результаты Купмана и А. Вейля, он завершил создание операторного формализма классической механики, ныне известного как теория Купмана — фон Неймана, и уже в 1932 году опубликовал серию работ, которые стали основополагающими для современной эргодической теории (в данных работах была, в частности, доказана знаменитая статистическая эргодическая теорема[en])[5]. Любопытно, что в этом же году фон Нейман опубликовал также книгу «Mathematical Foundations of Quantum Mechanics», содержавшую первое полное, строгое и систематическое изложение квантовой механики на современном языке гильбертовых пространств.

Основные положения и свойства[править | править код]

Отправной точкой KvN-теории является введение гильбертова пространства комплекснозначных и квадратично интегрируемых функций координат и импульсов , оснащённого следующим скалярным произведением:

(1)

где звёздочка означает комплексное сопряжение (для достижения наиболее наглядной аналогии с квантовой механикой здесь и далее для обозначения элементов гильбертова пространства будет применяться алгебраический формализм Дирака)[6]. Квадрат модуля таких функций постулируется равным классической плотности вероятности нахождения частицы в заданной точке фазового пространства в момент времени :

(2)

Из данного постулата и определения (1) помимо условия нормировки следует, что среднее значение произвольной физической величины , заданной действительной функцией может быть найдено по формуле

(3)

которая формально совпадает с аналогичным выражением Шрёдингеровской квантовой механики (смысл крышечки над будет раскрыт ниже). Это делает правомерным присвоить функции название классической волновой функции.

Центральным утверждением теории является постулат о том, что закон эволюции классической волновой функции по форме должен в точности совпадать с уравнением Лиувилля для классического распределения плотности вероятности в фазовом пространстве:

(4)

где

(5)

есть классический оператор Лиувилля. Из данного постулата с учетом свойств (2) и (3) классической волновой функции можно получить для неё наиболее общее выражение:

(6)

в котором фаза является произвольной действительной функцией своих аргументов.

Важной особенностью теории Купмана — фон Неймана является то, что выражения (5) и (6) являются лишь одним из множества возможных эквивалентных представлений динамических уравнений. Наиболее общая современная форма генератора движения (5) имеет следующий вид:

(7)

где являются самосопряжёнными операторами, удовлетворяющими следующим коммутационным соотношениям:

(8)

в которых скобками обозначен коммутатор операторов. Соотношения (8) представляют собой классический аналог канонических коммутационных соотношений квантовой механики. Легко проверить, что выражение (5) получается из (8) при выборе , , , . Однако, как и в квантовой механике, выбор специфической алгебраической формы данных операторов несущественен и определяется лишь соображениями удобства.

Аналогичным образом, любой физической величине ставится в соответствие эрмитов оператор классической наблюдаемой , получаемый путём подстановки операторов вместо соответствующих аргументов. Поучительно, что в отличие от квантовой механики, такая подстановка однозначна благодаря тому, что классические операторы и коммутируют. По этой же причине KvN-операторы всех физических величин коммутируют между собой.

Генератор движения (7) также представляет собой эрмитов оператор, а следовательно, временная динамика, описываемая уравнением (4) описывается некоторым унитарным преобразованием классической волновой функции: , причём отображение представляет собой однопараметрическую группу. В этом смысле уравнение (4) структурно полностью эквивалентно уравнению Шрёдингера. Именно это наблюдение, сделанное Купманом, и послужило стимулом для развития KvN-теории.

В наши дни возможность вышеизложенной абстрактной операторной формы записи уравнений классической динамики может показаться достаточно очевидной, однако в начале 1930-x годов эта идея была совершенно новой и революционной. Она открывала неожиданные перспективы прямого подключения квантовомеханического математического аппарата, в частности, теории представлений к анализу классических систем, чем и не преминул воспользоваться фон Нейман для доказательства своей эргодической теоремы.[1] В качестве примеров более современных заимствований можно указать методы теории возмущений и функционального интегрирования[7], фейнмановскую диаграммную технику[8].

Соотнесение с квантовой механикой[править | править код]

Несмотря на множество формальных сходств со Шрёдингеровской квантовой механикой, KvN-теория имеет с ней существенные различия. Прямая проверка[6] показывает, что эволюция классической волновой функции (7) по закону (4) распадается на два независимых уравнения для фазы и предэкспоненциального множителя. Таким образом, фазовый множитель в KvN-теории выступает в качестве произвольного свободного параметра, который никак не влияет на динамику классических наблюдаемых. Этим классическая волновая функция качественно отличается от квантовой, где аналогичный фазовый множитель несёт важную информацию о квантовой когерентности, которая и является источником всех специфически квантовых эффектов. По той же причине неселективное измерение не приводит к изменению классической волновой функции[6].

Классическая эволюция
KvN-функции
Квантовая эволюция
функции Вигнера

Еще одним фундаментальным отличием KvN-механики является обособленное место генератора движения (7) — классического лиувиллиана. Оператор (7) — единственный оператор теории, не соответствующий никакой физической величине и не коммутирующий с операторами физических величин (которые, напомним, все коммутируют между собой вследствие соотношений (8)). По этой причине в KvN-теории для введения генератора движения требуется расширение алгебры операторов физических величин введением специальных вспомогательных «дифференциальных» операторов and . Квантовомеханический случай значительно проще. Квантовый гамильтониан, представляющий генератор движения в уравнении Шрёдингера, одновременно является квантовомеханическим оператором энергии системы и при необходимости может быть выражен через операторы других наблюдаемых, то есть его не нужно искусственно вводить в алгебру квантовых операторов извне. Как знать, не в этом ли различии скрывается фундаментальная философская причина, побудившая Природу «предпочесть» квантовую механику?[9]

Интересным и не до конца изученным остается вопрос, является ли модель Купмана — фон Неймана классическим пределом какого-либо квантового представления. Ответ, причём достаточно неожиданный, имеется только для случая, когда квантовым «контрагентом» классической волновой функции является чистое квантовое состояние.[10] Можно показать, что правильный KvN-генератор движения в форме (7) получается как классический предел в соответствующем генераторе движения для функции Вигнера . Пикантность ситуации заключается в том, что функция Вигнера и соответствующий ей генератор движения определены не в гильбертовом, а классическом фазовом пространстве, воплощая идею перевода описания квантовомеханических процессов на язык классической механики, по сути диаметрально противоположную концепции KvN-теории. Укрощения борьбы противоположностей можно добиться, введя в классическом фазовом пространстве скалярное произведение в форме (1) и постулировав взамен стандартной формулы для вычисления средних

(9)

правило (3) (с подстановкой функции вместо ). Доказано, что такое модифицированное представление Вигнера физически корректно для чистых квантовых состояний (т. е. результаты вычисления по формулам (3) и (9) совпадают) и переходит в уравнения механики Купмана — фон Неймана в классическом пределе . Замечательно, что при этом радикальным образом снимается проблема отрицательности «функции квазивероятностного распределения Вигнера», поскольку в новой интерпретации вероятностное распределение не совпадает с функцией , а вычисляется по формуле (2) и всегда положительно. Однако, существенной слабой стороной изложенной схемы является невозможность её распространения на случай смешанных квантовых состояний.

Значение[править | править код]

За годы своего существования теория Купмана — фон Неймана, в отличие от достаточно широко используемого представления Вигнера, не сумела найти прямого практического применения, и поэтому её упоминание в научной литературе в основном можно встретить на страницах изданий, предназначенных для узкого круга специалистов по математической физике. По причине сравнительно низкой известности теории её историческое значение и методологический потенциал остаются малоисследованными.

В современных работах KvN-теория иногда применяется в качестве конструктивного инструмента, например, для развития фейнмановской диаграммной техники в классической теории возмущений.[8] Однако основная её ниша в современной науке заключается в реинтерпретации результатов, полученных другими методами с целью прояснения их физического смысла, обобщения и систематизации. Главным образом, это относится к квазиклассическим случаям, для которых теория является удобным дополнительным инструментом изучения соответствия между классическим и квантовым пределами.

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 The Legacy of John von Neumann (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol 50), edited by James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer. — Amata Graphics, 2006. — ISBN 0-8218-4219-6
  2. Подробности о результате Стоуна можно узнать из статьи Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве.
  3. Koopman, B. O. "Hamiltonian Systems and Transformations in Hilbert Space" // Proceedings of the National Academy of Sciences 17 (5), 315 (1931).
  4. Сходные идеи одновременно и независимо разрабатывались Вейлем.
  5. von Neumann, J. "Zur Operatorenmethode In Der Klassischen Mechanik" // Annals of Mathematics 33 (3), 587–642 (1932).
       von Neumann, J. "Zusatze Zur Arbeit "Zur Operatorenmethode..."" // Annals of Mathematics 33 (4), 789–791 (1932).
       Collected Works of John von Neumann, Taub, A. H., ed., Pergamon Press, 1963. ISBN 0-08-009566-6
  6. 1 2 3 Mauro, D. (2002). "Topics in Koopman — von Neumann Theory". arXiv:quant-ph/0301172 [quant-ph]. (существует выборочный перевод на русский язык М.Х. Шульмана: [1]).
  7. Liboff, R. L. Kinetic theory: classical, quantum, and relativistic descriptions. — Springer, 2003. — ISBN 9780387955513.
  8. 1 2 Blasone M., Jizba P., Kleinert H. «Path-integral approach to 't Hooft’s derivation of quantum physics from classical physics» // Physical Review A 71(5), 052507 (2005).
  9. Гришанин Б. А. «Классическая механика в квантовой форме: почему природа „предпочла“ квантовую механику», в книге: Б. А. Гришанин. Избранные работы и воспоминания близких, друзей и коллег (по редакцией В. Н. Задкова и Ю. М. Романовского) — Изд-во МГУ, 2011.
  10. Bondar D.; Cabrera R.; Zhdanov D.; Rabitz H. (2012). «Wigner Function’s Negativity Demystified» // arXiv:1202.3628[quant-ph].

Литература[править | править код]

  • Mauro, D. (2002). «Topics in Koopman — von Neumann Theory». arXiv: quant-ph/0301172 [quant-ph]. (существует выборочный перевод на русский язык М. Х. Шульмана: [2]).
  • John von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955. Reprinted in paperback form.