Уравнения Беккера-Дёринга

Уравнения Беккера-Дёринга (англ. Becker-Döring Equations) — уравнения, моделирующие динамику коагуляции и фрагментации кластеров идентичных частиц, разработаны в 1935 году немецкими учёными Беккером и Дёрингом. Пишутся в предположении о молекулярном механизме изменения агрегационного числа (то есть, числа молекул в зародыше) $n$ и описывают эволюцию концентраций зародышей ${c_{n}}$ во времени. В частности, уравнения Беккера-Дёринга широко используются при описании кинетики мицеллярных систем.

Молекулярный механизм

Ограничимся рассмотрением неионного однокомпонентного ПАВ. Обозначая через $\{n\}$ зародыш, состоящий из $n$ молекул ПАВ можем рассматривать такой механизм прямых и обратных переходов:

$\{n\}+\{1\}{\overset {b_{n+1}}{\underset {{a_{n}}{c_{1}}}{\leftrightarrows }}}\{n+1\}\quad n=1,2,...,$

где ${a_{n}}{c_{1}}$ - число мономеров ПАВ, поглощаемых агрегатом $\{n\}$ за единицу времени (величины ${a_{n}}$ могут быть названы скоростями присоединения мономеров), ${b_{n+1}}$ – число мономеров ПАВ, испускаемых агрегатом $\{n+1\}$ в раствор за единицу времени.

Уравнения

Уравнения Беккера-Дёринга для концентраций зародышей имеют вид:

${\begin{array}{l}{\frac {\partial {c_{n}}}{\partial t}}=-\left({{J_{n}}-{J_{n-1}}}\right)\quad n=2,3,...,\\{\frac {\partial {c_{1}}}{\partial t}}=-{J_{1}}-\sum \limits _{k=1}^{\infty }{J_{k}},\end{array}}$

где ${J_{n}}$ — потоки вдоль оси чисел агрегации:

${J_{n}}={a_{n}}{c_{1}}{c_{n}}-{b_{n+1}}{c_{n+1}}.$

См. также

• Кинетическое уравнение Больцмана

Литература

• Slemrod M. (2000) The Becker-Döring Equations. In: Bellomo N., Pulvirenti M. (eds) Modeling in Applied Sciences. Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology. Birkhäuser, Boston, MA.
• Ball, J.M., Carr, J. & Penrose, O. Commun.Math. Phys. (1986) 104: 657. https://doi.org/10.1007/BF01211070.
• Asymptotic behaviour of solutions to the Becker-Döring equations for arbitrary initial data. Ball, J. M.Carr, J. //Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics 1988.