Уравнения Блоха

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Макроскопические уравнения, используемые для вычисления ядерной намагниченности M = (Mx, My, Mz) как функции времени с временами релаксации T1 и T2. Находят широкое применение в таких отраслях физики как ЯМР, МРТ и ЭПР. Названы в честь лауреата Нобелевской премии по физике Феликса Блоха, впервые введшего их в 1946 году [1]. В литературе иногда называются уравнениями движения ядерной намагниченности.

Уравнения в лабораторной(стационарной) системе координат[править | править исходный текст]

Пусть M(t) = (Mx(t), My(t), Mz(t)) ядерная намагниченность. Тогда уравнения Блоха имеют следующий вид:

\frac {d M_x(t)} {d t} = \gamma ( \bold {M} (t) \times \bold {B} (t)  ) _x - \frac {M_x(t)} {T_2}
\frac {d M_y(t)} {d t} = \gamma ( \bold {M} (t) \times \bold {B} (t)  ) _y - \frac {M_y(t)} {T_2}
\frac {d M_z(t)} {d t} = \gamma ( \bold {M} (t) \times \bold {B} (t)  ) _z - \frac {M_z(t) - M_0} {T_1}

здесь γ -гиромагнитное отношение, а B(t) = (Bx(t), By(t), B0 + ΔBz(t)) - напряженность магнитного поля на ядре. Z-компонента вектора В есть сумма постоянной (B0) и изменяющейся во времени ΔBz(t), использующейся в частности для пространственного разрешения ЯМР-сигнала. × - знак векторного произведения векторов. M0 - стационарное значение ядерной намагниченности (например при t → ∞) вдоль внешнего приложенного поля.

Физическое обоснование[править | править исходный текст]

Уравнения Блоха феноменологические. При отсутствии релаксации (то есть при T1 и T2 → ∞) уравнения Блоха упрощаются до:

\frac {d M_x(t)} {d t} = \gamma ( \bold {M} (t) \times \bold {B} (t)  ) _x
\frac {d M_y(t)} {d t} = \gamma ( \bold {M} (t) \times \bold {B} (t)  ) _y
\frac {d M_z(t)} {d t} = \gamma ( \bold {M} (t) \times \bold {B} (t)  ) _z

или в векторной записи:

\frac {d \bold {M}(t)} {d t} = \gamma  \bold {M} (t) \times \bold {B} (t)

Это уравнение Ларморовской прецессии ядерной намагниченности M вокруг внешнего приложенного поля B.

Члены

\left ( -\frac {M_x} {T_2},  -\frac {M_y} {T_2}, -\frac {M_z - M_0} {T_1} \right )

отвечают процессу продольной и поперечной релаксации ядерной намагниченности M.

Уравнения Блоха являются макроскопическими: они являются уравнениями движения для макроскопической ядерной намагниченности, которая может быть получена сложением отдельных ядерных магнитных моментов образца. Для описания поведения каждого магнитного момента они не пригодны.

Альтернативная форма записи уравнений Блоха[править | править исходный текст]

После открытия скобок векторного произведения и введения Mxy, Вxy согласно

M_{xy} = M_x + iM_y \text{  и  } B_{xy} = B_x + iB_y\,

,получим

\frac {d M_{xy}(t)} {d t} = -i \gamma \left ( M_{xy} (t) B_z (t) - M_z (t) B_{xy} (t) \right ) -
\frac {M_{xy}} {T_2} .
\frac {d M_z(t)} {d t} = i \gamma \left ( M_{xy} (t) \overline{B_{xy} (t)} - 
\overline {M_{xy}} (t) B_{xy} (t) \right )
- \frac {M_z - M_0} {T_1}

Здесь i = √(-1) и :\overline {M_{xy}} = M_x - i M_y .

Действительная и мнимая части Mxy соответствуют Mx и My. Mxy также иногда называется поперечной ядерной намагниченностью.

Уравнения Блоха во вращающейся системе координат[править | править исходный текст]

При отсутствии релаксации (T1 and T2 → ∞) и постоянном внешнем поле, направленном вдоль оси z (B(t) = (0, 0, B0), решениями уравнений Блоха являются

M_{xy}(t) = M_{xy} (0) e^{-i \gamma B_{0} t},
M_z(t) = M_0 = \text{const} \,.

Таким образом, поперечная намагниченность Mxy вращается вокруг оси z с угловой частотой ω0 = γB0 против часовой стрелки. Продольная намагниченность Mz остается постоянной во времени. Если перейти в систему координат, вращающуюся с частотой Ω (выбор которой может быть обусловлен, например, частотой внешнего переменного поля ΔВ), то в ней решение представится в виде:

M_z' (t) = M_z(t)\,.
M_{xy}'(t) = e^{+i \Omega t} M_{xy}(t)\,.

Уравнения движения поперечной намагниченности во вращающейся системе координат[править | править исходный текст]

Подставив выражение из предыдущей секции получим:

\frac {d M_{xy}'(t)} {d t} = \frac {d \left ( M_{xy}(t) e^{+i \Omega t} \right )} {d t} =
e^{+i \Omega t} \frac {d M_{xy}(t) } {d t} + i \Omega e^{+i \Omega t} M_{xy} =
e^{+i \Omega t} \frac {d M_{xy}(t) } {d t} + i \Omega M_{xy}'

Уравнения Блоха во вращающейся системе координат примут вид:

\begin{align} \frac {d M_{xy}'(t)} {d t} & = e^{+i \Omega t} \left [-i \gamma \left ( M_{xy} (t) B_z (t) - M_z (t) B_{xy} (t) \right ) -
\frac {M_{xy}} {T_2} \right ] + i \Omega M_{xy}' = \\

& = \left [-i \gamma \left ( M_{xy} (t) e^{+i \Omega t} B_z (t) - M_z (t) B_{xy} (t) e^{+i \Omega t}\right ) -
\frac {M_{xy} e^{+i \Omega t} } {T_2} \right ] + i \Omega M_{xy}' = \\

& = -i \gamma \left ( M_{xy}' (t) B_z' (t) - M_z' (t) B_{xy}' (t) \right ) + i \Omega M_{xy}' -
\frac {M_{xy}'} {T_2} 

\end{align}

С учетом ранее принятого представления напряженности магнитного поля как суммы постоянной и переменной составляющей (Bz′(t) = Bz(t) = B0 + ΔBz(t)) уравнения окончательно принимают вид:

\begin{align} \frac {d M_{xy}'(t)} {d t} & =  -i \gamma \left ( M_{xy}' (t) (B_0 + \Delta B_z(t)) - M_z (t) B_{xy}' (t) \right ) + i \Omega M_{xy}' -
\frac {M_{xy}'} {T_2} =\\

& =  -i \gamma  (t) B_0 M_{xy}' - i \gamma  \Delta B_z(t) M_{xy}'(t) + i \gamma  B_{xy}' (t) M_z (t)+ i \Omega M_{xy}' -
\frac {M_{xy}'} {T_2} \\

& =  i (\Omega - \omega_0) M_{xy}'(t) - i \gamma  \Delta B_z(t) M_{xy}'(t) + i \gamma  B_{xy}' (t) M_z (t) -
\frac {M_{xy}'} {T_2} \\

\end{align}

Слагаемые в правой части:

  • i (Ω - ω) Mxy′(t) - Ларморовское вращение в системе координат, вращающейся с угловой частотой Ω относительно лабораторной. Обращается в ноль при Ω = ω0.
  • -i γ ΔBz(t) Mxy′(t) определяет влияние неоднородности магнитного поля вдоль оси z (зависимость от ΔBz(t)) на поперечную ядерную намагниченность.
  • i γ ΔBxy′(t) Mz(t) определяет поведение поперечной намагниченности при приложении переменного поперечного магнитного поля ( ΔBxy′(t) ) на ядерную намагниченность. Используется для описания эффектов импульсного ЯМР.
  • - Mxy′(t) / T2 описывает понижение когерентности поперечной намагниченности со временем.

Простые решения уравнений Блоха[править | править исходный текст]

Релаксация поперечной ядерной намагниченности Mxy[править | править исходный текст]

Предположим:

  • Внешнее магнитное поле постоянно и приложено вдоль оси z(Bz′(t) = Bz(t) = B0). Тогда ω0 = γB0, ΔBz(t) = 0 и Bxy' = 0.
  • Система координат вращается относительно лабораторной с частотой Ω = ω0.

Тогда во вращающейся системе координат уравнение движения поперечной намагниченности Mxy'(t) упрощается до:

\frac {d M_{xy}'(t)} {d t} =  - \frac {M_{xy}'} {T_2}

Решение этого уравнения:

 M_{xy}'(t) = M_{xy}'(0) e^{-t / T_2}.

где Mxy'(0) поперечная намагниченность при t = 0. При точном совпадении частоты ВСК с Ларморовской частотой (Ω = ω0), вектор поперечной намагниченности является постоянным.

π/2 и π импульсы[править | править исходный текст]

Предположим, что:

  • Продольное магнитное поле постоянно и приложено вдоль оси z. То есть Bz′(t) = Bz(t) = B0, ω0 = γB0 и ΔBz(t) = 0.
  • В момент времени t = 0 на образец подается переменное поперечное магнитное поле на частоте ω0.
  • Система координат вращается относительно лабораторной с частотой Ω = ω0.
\begin{align} \frac {d M_{xy}'(t)} {d t} =  i (\Omega - \omega_0) M_{xy}'(t) - i \gamma  \Delta B_z(t) M_{xy}'(t) + i \gamma  B_{xy}' (t) M_z (t) -
\frac {M_{xy}'} {T_2}

\end{align}

Путем изменения времени приложения переменного поля можно добиться прецессии ядерной намагниченности на углы π/2 и π. В результате можно можно наблюдать, например, эффект спинового эха.

Релаксация продольной ядерной намагниченности Mz[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

  1. F Bloch, Nuclear Induction, Physics Review 70, 460-473 (1946)

Литература[править | править исходный текст]

  1. Абрагам А. Ядерный магнетизм, М.: Издательство иностр. лит., 1963.
  2. Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса, М.: Мир, 1981.