Уравнения Блоха

Не следует путать с уравнением Блоха — базой квантовой статистики.

Макроскопические уравнения, используемые для вычисления ядерной намагниченности M = (M_x, M_y, M_z) как функции времени с временами релаксации T₁ и T₂. Находят широкое применение в таких отраслях физики как ЯМР, МРТ и ЭПР. Названы в честь лауреата Нобелевской премии по физике Феликса Блоха, который впервые ввел их в 1946 году . В литературе иногда называются уравнениями движения ядерной намагниченности.

Уравнения в лабораторной (стационарной) системе координат

Пусть M(t) = (M_x(t), M_y(t), M_z(t)) ядерная намагниченность. Тогда уравнения Блоха имеют следующий вид:

${\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}$

${\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}$

${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}$

здесь γ -гиромагнитное отношение, а B(t) = (B_x(t), B_y(t), B₀ + ΔB_z(t)) - напряженность магнитного поля на ядре. Z-компонента вектора В есть сумма постоянной (B₀) и изменяющейся во времени ΔB_z(t), использующейся в частности для пространственного разрешения ЯМР-сигнала. × - знак векторного произведения векторов. M₀ - стационарное значение ядерной намагниченности (например при t → ∞) вдоль внешнего приложенного поля.

Физическое обоснование

Уравнения Блоха феноменологические. При отсутствии релаксации (то есть при T₁ и T₂ → ∞) уравнения Блоха упрощаются до:

${\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}$

${\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}$

${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}$

или в векторной записи:

${\frac {d\mathbf {M} (t)}{dt}}=\gamma \mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t)$

Это уравнение Ларморовской прецессии ядерной намагниченности M вокруг внешнего приложенного поля B.

Члены

$\left(-{\frac {M_{x}}{T_{2}}},-{\frac {M_{y}}{T_{2}}},-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}\right)$

отвечают процессу продольной и поперечной релаксации ядерной намагниченности M.

Уравнения Блоха являются макроскопическими: они являются уравнениями движения для макроскопической ядерной намагниченности, которая может быть получена сложением отдельных ядерных магнитных моментов образца. Для описания поведения каждого магнитного момента они не пригодны.

Альтернативная форма записи уравнений Блоха

После открытия скобок векторного произведения и введения M_xy, В_xy согласно

$M_{xy}=M_{x}+iM_{y}{\text{ и }}B_{xy}=B_{x}+iB_{y}$

,получим

${\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}=-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}}{T_{2}}}$.

${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i\gamma \left(M_{xy}(t){\overline {B_{xy}(t)}}-{\overline {M_{xy}}}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}$

Здесь i = √(-1) и :${\overline {M_{xy}}}=M_{x}-iM_{y}$.

Действительная и мнимая части M_xy соответствуют M_x и M_y. M_xy также иногда называется поперечной ядерной намагниченностью.

Уравнения Блоха во вращающейся системе координат

При отсутствии релаксации (T₁ and T₂ → ∞) и постоянном внешнем поле, направленном вдоль оси z (B(t) = (0, 0, B₀), решениями уравнений Блоха являются

$M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{0}t}$,

$M_{z}(t)=M_{0}={\text{const}}$.

Таким образом, поперечная намагниченность M_xy вращается вокруг оси z с угловой частотой ω₀ = γB₀ против часовой стрелки. Продольная намагниченность M_z остается постоянной во времени. Если перейти в систему координат, вращающуюся с частотой Ω (выбор которой может быть обусловлен, например, частотой внешнего переменного поля ΔВ), то в ней решение представится в виде:

$M_{z}'(t)=M_{z}(t)$.

$M_{xy}'(t)=e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)$.

Уравнения движения поперечной намагниченности во вращающейся системе координат

Подставив выражение из предыдущей секции получим:

${\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}={\frac {d\left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)}{dt}}=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega e^{+i\Omega t}M_{xy}=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega M_{xy}'$

Уравнения Блоха во вращающейся системе координат примут вид:

${\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=e^{+i\Omega t}\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}}{T_{2}}}\right]+i\Omega M_{xy}'=\\&=\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)-{\frac {M_{xy}e^{+i\Omega t}}{T_{2}}}\right]+i\Omega M_{xy}'=\\&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)B_{z}'(t)-M_{z}'(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\end{aligned}}$

С учётом ранее принятого представления напряженности магнитного поля как суммы постоянной и переменной составляющей (B_z′(t) = B_z(t) = B₀ + ΔB_z(t)) уравнения окончательно принимают вид:

${\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)(B_{0}+\Delta B_{z}(t))-M_{z}(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}=\\&=-i\gamma (t)B_{0}M_{xy}'-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\\&=i(\Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\\\end{aligned}}$

Слагаемые в правой части:

• i (Ω - ω) M_xy′(t) - Ларморовское вращение в системе координат, вращающейся с угловой частотой Ω относительно лабораторной. Обращается в ноль при Ω = ω₀.
• -i γ ΔB_z(t) M_xy′(t) определяет влияние неоднородности магнитного поля вдоль оси z (зависимость от ΔB_z(t)) на поперечную ядерную намагниченность.
• i γ ΔB_xy′(t) M_z(t) определяет поведение поперечной намагниченности при приложении переменного поперечного магнитного поля ( ΔB_xy′(t) ) на ядерную намагниченность. Используется для описания эффектов импульсного ЯМР.
• - M_xy′(t) / T₂ описывает понижение когерентности поперечной намагниченности со временем.

Простые решения уравнений Блоха

Релаксация поперечной ядерной намагниченности M_xy

Предположим:

• Внешнее магнитное поле постоянно и приложено вдоль оси z(B_z′(t) = B_z(t) = B₀). Тогда ω₀ = γB₀, ΔB_z(t) = 0 и B_xy' = 0.
• Система координат вращается относительно лабораторной с частотой Ω = ω₀.

Тогда во вращающейся системе координат уравнение движения поперечной намагниченности M_xy'(t) упрощается до:

${\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}=-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}$

Решение этого уравнения:

$M_{xy}'(t)=M_{xy}'(0)e^{-t/T_{2}}$.

где M_xy'(0) поперечная намагниченность при t = 0. При точном совпадении частоты ВСК с Ларморовской частотой (Ω = ω₀), вектор поперечной намагниченности является постоянным.

π/2 и π импульсы

Предположим, что:

• Продольное магнитное поле постоянно и приложено вдоль оси z. То есть B_z′(t) = B_z(t) = B₀, ω₀ = γB₀ и ΔB_z(t) = 0.
• В момент времени t = 0 на образец подается переменное поперечное магнитное поле на частоте ω₀.
• Система координат вращается относительно лабораторной с частотой Ω = ω₀.

${\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}=i(\Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\end{aligned}}$

Путём изменения времени приложения переменного поля можно добиться прецессии ядерной намагниченности на углы π/2 и π. В результате можно можно наблюдать, например, эффект спинового эха.

Литература

• Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, John Wiley & Sons, 8th edition (2004), ISBN 978-0-471-41526-8. Chapter 13 is on Magnetic Resonance.

1. Абрагам А. Ядерный магнетизм, М.: Издательство иностр. лит., 1963.
2. Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса, М.: Мир, 1981.