Условия Каруша — Куна — Таккера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории оптимизации условия Каруша — Куна — Таккера (англ. Karush — Kuhn — Tucker conditions, KKT) — необходимые условия решения задачи нелинейного программирования. Чтобы решение было оптимальным, должны быть выполнены некоторые условия регулярности. Метод является обобщением метода множителей Лагранжа. В отличие от него, ограничения, накладываемые на переменные, представляют собой не уравнения, а неравенства.

История[править | править вики-текст]

Кун и Таккер обобщили метод множителей Лагранжа (для использования при построении критериев оптимальности для задач с ограничениями в виде равенств) на случай общей задачи нелинейного программирования с ограничениями, как в виде равенств, так и в виде неравенств[1].

Необходимые условия локального минимума для задач с ограничениями исследуются давно. Одним из основных остаётся предложенный Лагранжем перенос ограничений в целевую функцию. Условия Куна-Таккера тоже выведены из этого принципа[2].

Постановка задачи[править | править вики-текст]

В задаче нелинейной оптимизации требуется найти значение многомерной переменной , минимизирующее целевую функцию:

при условиях, когда на переменную наложены ограничения типа неравенств:

,

а компоненты вектора неотрицательны[3].

Вильям Каруш в своей дипломной работе нашёл необходимые условия в общем случае, когда накладываемые условия могут содержать и уравнения, и неравенства. Независимо от него к тем же выводам пришли Гарольд Кун и Альберт Таккер.

Необходимые условия минимума функции[править | править вики-текст]

Если при наложенных ограничениях — решение задачи, то найдётся вектор множителей Лагранжа такой, что для функции Лагранжа выполняются условия:

  • стационарности: ;
  • дополняющей нежёсткости: ;
  • неотрицательности: .

Достаточные условия минимума функции[править | править вики-текст]

Перечисленные необходимые условия минимума функции в общем случае не являются достаточными. Существует несколько вариантов дополнительных условий, которые делают их достаточными.

Простая формулировка[править | править вики-текст]

Если для допустимой точки выполняются условия стационарности, дополняющей нежёсткости и неотрицательности, а также , то .

Более слабые условия[править | править вики-текст]

Если для допустимой точки выполняются условия стационарности, дополняющей нежёсткости и неотрицательности, а также (условие Слейтера), то .

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Условия Куна-Таккера
  2. Жилинискас А., Шалтянис В. Поиск оптимума: компьютер расширяет возможности. — М.: Наука, 1989, с. 76, ISBN 5-02-006737-7
  3. Математические основы кибернетики, 1980, с. 253.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Дж. Хедли. Нелинейное и динамическое программирование. — М.: Мир, 1967. — 506 с.
  • Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергия, 1980. — 424 с.