Формула Фаульхабера

Формула Фаульхабера — выражение для суммы $p$-х степеней первых $n$ натуральных чисел:

$\sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}$

как многочлена $(p+1)$-й степени с коэффициентами, содержащими числа Бернулли:

$\sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}$.

Названа в честь математика XVII века Иоганна Фаульхабера; также известна как формула Бернулли.

Формулы для первых шести степеней:

$1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n}{2}}$ (треугольные числа)

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}$ (квадратные пирамидальные числа)

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}={\frac {n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}}$ (квадраты треугольных чисел)

${\begin{aligned}1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}&={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}\\&={\frac {6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n}{30}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}&={\frac {[n(n+1)]^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}\\&={\frac {2n^{6}+6n^{5}+5n^{4}-n^{2}}{12}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}1^{6}+2^{6}+3^{6}+\cdots +n^{6}&={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1)}{42}}\\&={\frac {6n^{7}+21n^{6}+21n^{5}-7n^{3}+n}{42}}\end{aligned}}$

Ссылки

• Jacobi, Carl (1834). "De usu legitimo formulae summatoriae Maclaurinianae". Journal für die reine und angewandte Mathematik. Vol. 12. pp. 263—72.
• Weisstein, Eric W. Faulhaber's formula (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Johann Faulhaber. Academia Algebrae - Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden. — 1631. A very rare book, but Knuth has placed a photocopy in the Stanford library, call number QA154.8 F3 1631a f MATH. (online copy в «Книгах Google»)
• Beardon, A. F. (1996). "Sums of Powers of Integers" (PDF). American Mathematical Monthly. 103 (3): 201—213. doi:10.1080/00029890.1996.12004725. Дата обращения: 23 октября 2011. (Winner of a Lester R. Ford Award)
• Schumacher, Raphael (2016). "An Extended Version of Faulhaber's Formula" (PDF). Journal of Integer Sequences. Vol. 19.s
• Orosi, Greg (2018). "A Simple Derivation Of Faulhaber's Formula" (PDF). Applied Mathematics E-Notes. Vol. 18. pp. 124—126.