Квадратное пирамидальное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Геометрическое представление квадратного пирамидального числа: 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

Квадра́тное пирамида́льное число́ (часто называемое просто пирамида́льным число́м) — пространственное фигурное число, представляющее пирамиду, с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов со сторонами, параллельными осям координат, в решётке из N ×N точек.

Начало последовательности:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, … (последовательность A000330 в OEIS).

Формула[править | править код]

Общая формула для -го по порядку квадратного пирамидального числа:

Это частный случай формулы Фаулхабера[en], которую несложно доказать по индукции. Впервые равносильная формула была приведена в «Книге абака» Фибоначчи (XIII век).

В современной математике формализация фигурных чисел происходит с помощью многочленов Эрхарта. Многочлен Эрхарта L(P,t) многогранника Pмногочлен, который подсчитывает количество целых точек в копии многогранника P, который увеличивается путём умножения всех его координат на число t. Многочлен Эрхарта пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной 1 с целыми координатами, а вершина которой находится на высоте 1 над основанием, вычисляется по формуле[1]:

(t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = Pt + 1.

Производящая функция[править | править код]

Производящая функция для квадратных пирамидальных чисел имеет вид:

Связь с другими фигурными числами[править | править код]

Квадратные пирамидальные числа могут быть также выражены в виде суммы биномиальных коэффициентов:

Биномиальные коэффициенты, возникающие в этом представленном выражении, — это тетраэдральные числа. Эта формула выражает квадратные пирамидальные числа в виде суммы двух чисел, так же как любое квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел. В этой сумме, одно из двух тетраэдрических чисел считает количество шаров в сложенной пирамиде, которые расположены выше или по одну сторону от диагонали квадратного основания пирамиды; а второе — расположенных по другую сторону диагонали. Квадратные пирамидальные числа также связаны с тетраэдральными следующим образом[2]:

Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел является октаэдрическим числом.

Проблема нахождения квадратных пирамидальных чисел, являющихся одновременно квадратными числами, известна как задача об укладке пушечных ядер и была сформулирована Люка (1875)[3].

Примечания[править | править код]

  1. Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M. & Pfeifle, J. (2005), Coefficients and roots of Ehrhart polynomials, Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization, vol. 374, Contemp. Math., Providence, RI: Amer. Math. Soc., с. 15—36 
  2. Деза Е., Деза М., 2016, с. 75.
  3. Édouard Lucas. Question 1180 // Nouv. Ann. Math. — 1875. — Вып. 14. — С. 336.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]