Числа Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел , впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:

где биномиальный коэффициент.

Рекуррентная формула[править | править вики-текст]

Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:

Свойства[править | править вики-текст]

Написана в 1713 году
  • Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме , равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
  • Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли при :
  • Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например:
    • Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:
      ,
    • ,
    • .
  • Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при четных s = 2k:
А также:
для всех натуральных n, больших 1.
Получение чисел Бернулли из дзета-функции Римана

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]