Фундированное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фундированное множество — частично упорядоченное множество , для которого у любого непустого подмножества частично упорядоченное множество имеет минимальный элемент[1]. Под минимальным элементом в здесь понимается , такой, что для любого из следует [2].

(Некоторые авторы[какие?] дополнительно требуют, чтобы отношение R было связным.)

Эквивалентное определение при условии использования аксиомы выбора, состоит в том, что множество M с отношением R является фундированным тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей, то есть не существует бесконечной последовательности x0, x1, x2, … элементов из M такой, что xn+1 R xn для любого индекса n.

Примеры[править | править вики-текст]

Примеры фундированных множеств без полного порядка.

  • Множество целых чисел с частичным порядком a < b тогда и только тогда, когда a делится на b и ab
  • Множество всех конечных строк на конечном алфавите, с частичным порядком s < t тогда и только тогда, когда s строго включается как подстрока в t

Принцип трансфинитной индукции[править | править вики-текст]

Пусть  — фундированное множество и . Тогда если для любого из включения следует , то совпадает с [3].

Нётерова индукция[править | править вики-текст]

Нётерова индукция — это обобщение трансфинитной индукции, которое заключается в следующем.

Пусть  — фундированное множество,  — некоторое утверждение об элементах множества , и пусть мы хотим показать, что верно для всех . Для этого достаточно показать, что если , и верно для всех таких , что , то также верно. Другими словами

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. — М.: Наука, 1987. — 336 с.