Функция Вейерштрасса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График функции Вейерштрасса на интервале [−2, 2]. Этот график имеет фрактальный характер, демонстрируя самоподобие: увеличиваемая область (в красном круге) подобна всему графику.

Функция Вейерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.

Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением:

,

где  — произвольное нечетное число, не равное единице, а  — положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом

,

поэтому функция определена и непрерывна при всех вещественных . Тем не менее эта функция не имеет производной по крайней мере при

.

Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке , строят две последовательности и , сходящиеся к точке , и доказывают, что отношения

и

имеют разные знаки по крайней мере при

и .

Указанные последовательности могут быть определены как

и

где — ближайщее целое число к

Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях

и

было установлено Харди.[1]

Историческая справка[править | править вики-текст]

В 1806 году Ампер[2] предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. При этом принималась за очевидное возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна. С этими оговорками гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку теоремы Лебега[en][3]. В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса, именно для всех непрерывных функций. В 1861 году Риман привел своим слушателям в качестве контрпримера следующую функцию

;

однако исследование дифференцируемости этой функции чрезвычайно сложно. Но в 1870 году Джозеф Гервер (англ. Joseph Gerver) доказал, что эта функция все же имеет производную в некоторых рациональных точках[4]. В 1872 году Вейерштрасс указал более простой контрпример — введенную выше функцию и представил строгое доказательство её недифференцируемости[5]. В печати этот пример впервые появился в 1875 году в работе П. Дюбуа-Реймона[6]. Ещё более простой пример принадлежит ван дер Вардену (1930):

,

где фигурные скобки означают взятие дробной части.[7]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Hardy G. H. Weierstrass’s nondifferentiable function // Trans — Amer. Math. Soc, 17 (1916), р. 301—325. Впрочем и Вейерштрасс упоминал это утверждение в письме к Дюбуа-Реймону в 1873 году, см.: Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва : Наука, 1985. с. 229.
  2. Ampère, A.M. // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
  3. Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. С. 13.
  4. Gerver J. // American Journal of Mathematics, Vol. 92, No. 1 (Jan., 1970), pp. 33-55
  5. Доклад Вейерштрасса, прочитанный в Прусской академии наук 18 июля 1872 года, опубликован в собрании сочинений (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.).
  6. Du Bois-Reymond R. // J. für Math., 79 (1875), p. 21-37; Вейерштрасс был редактором этого журнала и сообщил о своем контрпримере в письме к Дюбуа-Реймону 23 ноября 1873 года, см.: Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва : Наука, 1985. с. 229.
  7. Van der Waerden B.L. // Math. Zeitschr., 32 (1930), p. 474—475.

Литература[править | править вики-текст]

  • Weierstrass K. Math. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
  • Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
  • Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва: Наука, 1985.