Число Белла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Число Белла — число всех неупорядоченных разбиений -элементного множества, обозначаемое , при этом по определению полагают .

Значения для образуют последовательность[1]:

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21 147, 115 975, …

Ряд чисел Белла обозначает число способов, с помощью которых можно распределить пронумерованных шаров по идентичным коробкам. Кроме этого, числа Белла дают возможность узнать сколько существует способов разложить на множители составное число, состоящее из простых множителей[2].

Числа Белла названы в честь Эрика Белла, который писал о них в 1930-х годах.

Математические свойства[править | править код]

Число Белла можно вычислить как сумму чисел Стирлинга второго рода:

,

а также задать в рекуррентной форме:

.

Для чисел Белла справедлива также формула Добинского[3]:

.

Если  — простое, то верно сравнение Тушара:

и более общее:

.

Экспоненциальная производящая функция чисел Белла имеет вид[4]:

.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Ламберто Гарсия дель Сид. Замечательные числа : Ноль, 666 и другие бестии. — М. : «Де Агостини», 2014. — Т. 21. — 160 с. — (Мир математики: в 40 т.). — ББК 22.1. — УДК 51(0.062)(G). — ISBN 978-5-9774-0682-6.
  • Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. — М.: Высшая школа, 2006. — 392 с. — ISBN 5-06-005683-X.
  • Bell, E. T. (1934). “Exponential polynomials”. Annals of Mathematics. 35: 258—277. DOI:10.2307/1968431. JSTOR 1968431..
  • Bell, E. T. (1938). “The iterated exponential integers”. Annals of Mathematics. 39: 539—557. DOI:10.2307/1968633. JSTOR 1968633..