Теорема представлений Риса (также теорема Риса — Фреше) — утверждение функционального анализа, согласно которому каждый линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента. Названа в честь венгерского математика Фридьеша Риса.
Формулировка
Пусть существуют гильбертово пространство
и линейный ограниченный функционал
в пространстве
. Тогда существует единственный элемент
пространства
, такой, что для произвольного
выполняется
. Кроме того, выполняется равенство:
.
Доказательство
ядро линейного функционала является векторным подпространством
.
Существование ![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
Если
, то достаточно взять
. Предположим, что
. Тогда
, и, следовательно, ортогональное дополнение
ядра
не равно
. Выберем произвольный ненулевой вектор
. Положим
. Мы покажем, что
для всех
. Рассмотрим вектор
. Заметим, что
, и, таким образом,
. Поскольку
, то
. Следовательно,
.
Отсюда
и
.
Единственность ![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
Предположим, что
и
элементы
удовлетворяют
.
Это означает, что для всех
справедливо равенство
, в частности
, откуда и получается равенство
.
Равенство норм
Для доказательства
сперва из неравенства Коши-Буняковского имеем:
. Отсюда, согласно определению нормы функционала, имеем:
Кроме того,
, откуда
. Объединяя два неравенства, получаем
.
См. также
Примечания