Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы. Частный случай неравенства Гёльдера и неравенства Йенсена.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Формулировка

Пусть дано линейное пространство $L$ со скалярным произведением $\langle x,\;y\rangle$. Пусть $\|x\|$ — норма, порождённая скалярным произведением, то есть $\|x\|\equiv {\sqrt {\langle x,\;x\rangle }},\;\forall x\in L$. Тогда для любых $x,\;y\in L$ имеем:

$|\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|,$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $x$ и $y$ линейно зависимы (коллинеарны, или среди них есть нулевой).

Примеры

• Важным частным случаем, часто использующимся в теории чисел, является случай, когда один из векторов полностью состоит из единиц:

$\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{1}}\right)\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}=n\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}$

• В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей $l^{2}$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

$\left|\sum \limits _{k=1}^{\infty }x_{k}{\bar {y}}_{k}\right|^{2}\leqslant \left(\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{2}\right),$

где ${\bar {y}}_{k}$ обозначает комплексное сопряжение $y_{k}$.

• В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций $L^{2}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

$\left|\int \limits _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mu (dx)\right|^{2}\leqslant \left(\int \limits _{X}\left|f(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right)\cdot \left(\int \limits _{X}\left|g(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right).$

• В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом $L^{2}(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

  $\mathrm {cov} ^{2}(X,\;Y)\leqslant \mathrm {D} [X]\cdot \mathrm {D} [Y],$

где $\mathrm {cov}$ обозначает ковариацию, а $\mathrm {D}$ — дисперсию.

• Для двух случайных величин $\xi$ и $\eta$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

  $\left[\mathbf {M} (\eta \cdot \xi )\right]^{2}\leqslant \mathbf {M} \eta ^{2}\cdot \mathbf {M} \xi ^{2}.$

Способы доказательства

Существует лишь несколько сущностно различных подходов к доказательству неравенства. Однако, ввиду его универсальности, одни и те же приводящие к нему формальные операции можно описывать в разных терминах. Из-за этого некоторые авторы представляют неравенство как имеющее чрезвычайно много доказательств.

Для удобства изложения в данном разделе, когда не указано иное, описываются доказательства только для пространства конечной размерности над $\mathbb {R}$, то есть для конечных последовательностей $(x_{1},\dots ,x_{n})$, $(y_{1},\dots ,y_{n})$.

Комбинаторный (через перестановочное неравенство)

Схема доказательства неравенства для одной последовательности через перестановочное неравенство.

Случай с вектором из единиц

Пусть $y_{1}=\dots =y_{n}=1$. Раскрывая квадрат и делая замену $t=i-j$, квадрат суммы можно разбить на блоки следующим образом:

${\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}\right)}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{i}x_{j}}=\sum \limits _{t=0}^{n-1}{\left({\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}x_{j+t}}}\right)}\ ,$

где обозначения $x_{n+1},x_{n+2},\dots$ соответствуют $x_{1},x_{2},\dots$. Из перестановочного неравенства для двух копий последовательности $(x_{1},\dots ,x_{n})$ и перестановок

$\sigma _{t}(j):=((t+j-1)\mod {n})+1,\ \ \ t=0,\dots ,n-1$

следует, что каждая из внутренних сумм не превышает $\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}$.

Общий случай

Если все $y_{i}$ – целые, то, раскрывая произведения $x_{i}y_{i}=\underbrace {x_{i}+\dots +x_{i}} _{y_{i}}$ и применяя уже доказанный частный случай для получившихся $\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}$ слагаемых, получим

$\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}\right)^{2}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\underbrace {x_{i}+\dots +x_{i}} _{y_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\underbrace {x_{i}^{2}+\dots +x_{i}^{2}} _{y_{i}}}}\right)=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ ,$

Делением обоих частей на целые числа можно получить то же неравенство для рациональных $y_{i}$, а из непрерывности сложения и умножения следует и обобщение для произвольных вещественных $y_{i}$. Это утверждение в точности соответствует неравенству Коши-Буняковского для последовательностей

${x'}_{i}:=x_{i}{\sqrt {y_{i}}}$

${y'}_{i}:={\sqrt {y_{i}}}$.

Поэтому неравенство для произвольных $({x'}_{i})_{i=1}^{n}$, $({y'}_{i})_{i=1}^{n}$ следует из возможности обратной замены

$x_{i}:={\frac {{x'}_{i}}{{y'}_{i}}}$

$y_{i}:={y'}_{i}^{2}$.

Вероятностный (через суммирование квадратов)

Идея (на примере дисперсии)

Самая известная реализация этого метода – рассмотрение дисперсии случайной величины. Очевидно, что если величина принимает неотрицательные значения, то её математическое ожидание также будет неотрицательно, поэтому

$\mathbb {E} \left[{({X-\mathbb {E} [X]})^{2}}\right]\geq 0$

для любой случайной величины $X$. Благодаря линейности математического ожидания из этого следует, что

$0\leq \mathbb {E} \left[{(X-\mathbb {E} [X])^{2}}\right]=\mathbb {E} \left[{X^{2}-2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}}\right]=\mathbb {E} [X^{2}]-2\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}$

Пусть все $y_{i}>0$ и $B:=\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}$. Для случайной величины $X$, которая принимает значение $x_{i}$ с вероятностью ${\frac {y_{i}}{B}}$, это неравенство означает, что

$\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}{\frac {y_{i}}{B}}}}\right)^{2}=\mathbb {E} [X]^{2}\leq \mathbb {E} [X^{2}]=\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}{\frac {y_{i}}{B}}}\ ,$

то есть

$\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}\right)\leq B\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ .$

Отсюда неравенство Коши-Буняковского можно получить той же заменой переменных, что и в случае с применением перестановочного неравенства.

Интерпретация и альтернативные формы

После замены переменных математическое ожидание описанной выше величины будет иметь вид

$\mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i=1}^{n}{{\frac {x_{i}}{y_{i}}}\cdot {\frac {y_{i}^{2}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .$

Поэтому вероятностное доказательство, в сущности рассматривает сумму

$\sum \limits _{i=1}^{n}{\left({{\frac {x_{i}}{y_{i}}}-\sum \limits _{j=1}^{n}{\left({{\frac {x_{j}}{y_{j}}}\cdot {\frac {y_{j}^{2}}{\sum \limits _{k=1}^{n}{y_{k}^{2}}}}}\right)}}\right)^{2}{\frac {y_{i}^{2}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .$

Из очевидной (ввиду возведения скобки в квадрат) неотрицательности этой суммы выводится соотношение между слагаемыми, получающимися при раскрытии скобки – двое из трёх таких слагаемых сокращаются в одно (различаются лишь на константу) за счёт структуры формулы. Изменяя нормировку (деление на суммы) с помощью внесения множителей под скобки и домножения константы, легко увидеть, что такой подход аналогичен использованию более наглядной суммы

$\sum \limits _{i=1}^{n}{{\left({{\frac {x_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}y_{j}}}}-{\frac {y_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\right)}^{2}}\ .$

Неравенства с такими суммами, записанные без привязки к вероятностным определениям, остаются корректным и без условия $y_{i}>0$ из предыдущего раздела. В частности, для произвольного гильбертова пространства при $\langle {x,y}\rangle \in \mathbb {R}$ можно рассмотреть неравенство

$0\leq \left\vert \left\vert {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{||x||^{2}}}x}\right\vert \right\vert ^{2}\leq \left\langle {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x,y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x}\right\rangle =\langle {y,y}\rangle -2{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}\langle {x,y}\rangle +{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2}}{\langle {x,x}\rangle ^{2}}}\langle {x,x}\rangle =\langle {y,y}\rangle -{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2}}{\langle {x,x}\rangle }}\ ,$

а при $\langle {x,y}\rangle \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$ достаточно домножить $x$ на комплексное число вида $e^{\varphi i},\varphi \in \mathbb {R}$ чтобы свести всё к первому случаю.

Аналогичным способом можно использовать другую, симметричную, сумму, где после раскрытия скобки сокращаются два крайних слагаемых (полученные возведением в квадрат), а не крайнее с центральным:

$\sum \limits _{i=1}^{n}{{\left({{\frac {x_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}^{2}}}}}-{\frac {y_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}}\right)}^{2}}\ .$

или, что то же самое,

$\left\vert \left\vert {{\frac {x}{||x||}}-{\frac {y}{||y||}}}\right\vert \right\vert ^{2}\ .$

Кроме вероятностной интерпретации, использование таких сумм может быть описано через оценку дискриминанта квадратного уравнения или неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим.

Прямой (через группировку множителей)

Ещё одна (впрочем, нуждающаяся в инструментарии двух предыдущих) идея состоит в представлении неравенства в виде

$\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}y_{j}}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j})(x_{j}y_{i})}\leq \sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j})^{2}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}\right)\left({\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}\right)\ .$

Такую форму можно доказать двумя способами:

• сравнивав все слагаемые за один шаг, применив перестановочное неравенство для двух копий набора $(x_{i}y_{j})_{(i,j)\in [1;n]^{2}}$ и перестановки $\sigma (i,j):=(j,i)$;

• сравнивая каждое слагаемое отдельно, применяя неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим для двух переменных $a=x_{i}y_{j},\ b=x_{j}y_{i}$, что по сути соответствует рассмотрению суммы квадратов вида $\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}}$ или нормы соответствующего вектора в тензорном произведении произвольных гильбертовых пространств.

Применение случая n=2 к суммам

Неравенство можно получить с помощью индукции, шагом которой для перехода от $n$ к $(n+1)$-ому слагаемому будет применение того же неравенства для двух слагаемых. Предположение индукции для последовательностей $(x_{i})_{i=1}^{n}$, $(y_{i})_{i=1}^{n}$ даёт неравенство

$\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {red}{x_{i}}\color {blue}{y_{i}}}}\right)+x_{n+1}y_{n+1}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {red}{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {blue}{y_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}+x_{n+1}y_{n+1}$

А из случая $n=2$ для последовательностей $\left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}},x_{n+1}}\right)$, $\left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}},y_{n+1}}\right)$ легко видеть, что

${\color {red}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}}{\color {blue}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}}+{\color {red}{x_{n+1}}\color {blue}{y_{n+1}}}\leq \left({{\color {red}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\color {black}{\cdot 2}}}}+{\color {red}{x_{n+1}}^{2}}}\right)\left({{\color {blue}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\color {black}{\cdot 2}}}}+{\color {blue}{y_{n+1}}^{2}}}\right)=\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1}{x_{i}^{2}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1}{y_{i}^{2}}}\right)$

Таким образом неравенство доказывается для произвольного $n$ индукцией с базой $n=2$. Базу можно доказать любым из остальных способов (например, через неравенство $(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}\geq 0$). Также для $n=2$ существуют наглядные геометрические доказательства.

Литература

• Hui-Hua Wu, Shanhe Wu. Various proofs of the Cauchy-Schwarz inequality (англ.) // Octogon mathematical magazine. — 2009. — Vol. 17, iss. 1. — P. 221–229.