Непрерывное вейвлет-преобразование

Непрерывное вейвлет-преобразование (англ. continuous wavelet transform, CWT) — это преобразование, отображающее данную вещественнозначную функцию $x(t)$, определенную на временно́й оси переменной $t$, в функцию

$\gamma (\tau ,s)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x(t){\frac {1}{\sqrt {s}}}\psi ^{*}\left({\frac {t-\tau }{s}}\right)dt$

двух переменных $\tau$ и $s$. Здесь $\tau$ представляет параллельный перенос, $s$ представляет масштаб и $\psi (t)$ — материнский вейвлет (mother wavelet).

Изначальная функция может быть восстановлена с помощью обратного преобразования

$x(t)={\frac {1}{C_{\psi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\gamma (\tau ,s){\frac {1}{\sqrt {s}}}\psi \left({\frac {t-\tau }{s}}\right)d\tau {\frac {ds}{s^{2}}}$

где

$C_{\psi }=2\pi \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\left|\Psi (\zeta )\right|^{2}}{\left|\zeta \right|}}d\zeta$

называется постоянной допустимости и $\Psi$ — преобразование Фурье от $\psi$. Для того, чтобы обратное преобразование было успешным, постоянная допустимости должна соответствовать критерию допустимости

$C_{\psi }<+\infty$.

Также следует отметить, что критерий допустимости подразумевает, что $\Psi (0)=0$, так что интеграл от вейвлета должен быть равен нулю. Материнский вейвлет (mother wavelet) связан с дочерним вейвлетом (daughter wavelet) следующим соотношением:

$\psi _{s,\tau }(t)={\frac {1}{\sqrt {s}}}\psi \left({\frac {t-\tau }{s}}\right)$.

Ссылки

• John Sadowsky. Investigation of Signal Characteristics Using the Continuous Wavelet Transform. — P. 259–260

См. также

• Дискретное вейвлет-преобразование