Транзитивное множество

Транзитивное множество — вполне упорядоченное особым образом множество. Понятие транзитивного множества было введено в математику П. Бернайсом и К. Гёделем при построении теории порядковых чисел.

Определение

Множество ${\mathfrak {A}}$ называется транзитивным, если:

• отношение $X\leqslant Y\Leftrightarrow X=Y\lor X\in Y$ вполне упорядочивает ${\mathfrak {A}}$;
• $\varnothing \in {\mathfrak {A}}$;
• $X\in Y\land Y\in {\mathfrak {A}}\Rightarrow X\in {\mathfrak {A}}$.

Свойства

• Для любого порядкового числа $\alpha \geqslant 0$ существует и единственно транзитивное множество, упорядоченное по типу $\alpha$.

Литература

• Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 149 с.
• Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Наука, 1975. — 240 с.