Параметризация Фейнмана — это метод оценки интегралов по замкнутым контурам, возникающих из диаграмм Фейнмана с одним или несколькими циклами. Однако иногда это полезно при интегрировании в области чистой математики.
Формулы
Ричард Фейнман заметил, что:
![{\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6124fb1e6f1989accc58fa8f8fdefeb8f767bf)
причём формула действительна для любых комплексных чисел A и B, если 0 не содержится в отрезке прямой, соединяющем A и B. Формула помогает оценить интегралы, такие как:
![{\displaystyle \int {\frac {dp}{A(p)B(p)}}=\int dp\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^{2}}}=\int _{0}^{1}du\int {\frac {dp}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7ec9daf0ae058280778e79ab74831a23848444)
Если A (p) и B (p) — линейные функции от p, то последний интеграл можно оценить с помощью подстановки.
В более общем смысле, используя дельта-функцию Дирака
:[1]
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;}{\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\right)^{n}}}\\&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{1}\int _{0}^{u_{1}}du_{2}\cdots \int _{0}^{u_{n-2}}du_{n-1}{\frac {1}{\left[A_{1}+u_{1}(A_{2}-A_{1})+\dots +u_{n-1}(A_{n}-A_{n-1})\right]^{n}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a049f04b1de5dae0e89f3be60db0369592b58769)
Эта формула действительна для любых комплексных чисел A1,. , ., An, если 0 не содержится в их выпуклой оболочке.
Даже в более общем плане, при условии, что
для всех
:
![{\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}\cdots A_{n}^{\alpha _{n}}}}={\frac {\Gamma (\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}}\int _{0}^{1}du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;u_{1}^{\alpha _{1}-1}\cdots u_{n}^{\alpha _{n}-1}}{\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\right)^{\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f73bbf734bd1234c270cf0e5486f568e8543c1e)
где
— гамма-функция.[2]
Вывод
![{\displaystyle {\frac {1}{AB}}={\frac {1}{A-B}}\left({\frac {1}{B}}-{\frac {1}{A}}\right)={\frac {1}{A-B}}\int _{B}^{A}{\frac {dz}{z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4743252ca77e44d06fc812c80cf26fd6af6d357e)
Теперь просто линейно преобразовать интеграл с помощью подстановки,
,
- что приводит к
,
- откуда
![{\displaystyle z=uA+(1-u)B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceb2c60830cf00b2de1f286b5086889325081c73)
и мы получаем искомый результат:
![{\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c889abc83102e38acad92e417ca8271f2b7dbf2)
В более общих случаях вывод могжет быть выполнен очень эффективно с использованием параметризации Швингера. Например, чтобы вывести параметризованную форму Фейнмана
Сначала мы повторно выражаем все факторы в знаменателе в их параметризованной форме Швингера:
![{\displaystyle {\frac {1}{A_{i}}}=\int _{0}^{\infty }ds_{i}\,e^{-s_{i}A_{i}}\ \ {\text{for }}i=1,\ldots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1edfa49cc66e4dffd2239ac37e2e0146637a723)
и записываем
![{\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\int _{0}^{\infty }ds_{1}\cdots \int _{0}^{\infty }ds_{n}\exp \left(-\left(s_{1}A_{1}+\cdots +s_{n}A_{n}\right)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783107414dd7997127c95d749be0d782b7d13155)
Затем мы выполняем следующее изменение переменных интегрирования,
![{\displaystyle \alpha =s_{1}+...+s_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524d8dd63ee1f9d69791e56ebdfabc757ef4e9a6)
![{\displaystyle \alpha _{i}={\frac {s_{i}}{s_{1}+\cdots +s_{n}}};\ i=1,\ldots ,n-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77d09b4a08126830ea3dbae7566882c316227a3)
чтобы получить,
![{\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}\int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{N-1}\exp \left(-\alpha \left\{\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}\right\}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e08efd82915e2f944d63f0fc1438a971e16746)
где
обозначает интеграцию по площади
с
,
Следующим шагом является выполнение интегрирования по
.
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{n-1}\exp(-\alpha x)={\frac {\partial ^{n-1}}{\partial (-x)^{n-1}}}\left(\int _{0}^{\infty }d\alpha \exp(-\alpha x)\right)={\frac {\left(n-1\right)!}{x^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415c7c775445e9e28dd6949f4dac1a83caa307a2)
где мы определили
Подставляя этот результат, мы получаем предпоследнюю форму,
![{\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}{\frac {1}{[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}]^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f292fd8ef3883120a5bf7f93df4cabf998a83cc)
и после введения дополнительного интеграла мы приходим к окончательному виду параметризации Фейнмана, а именно:
![{\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots \int _{0}^{1}d\alpha _{n}{\frac {\delta \left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n}\right)}{[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n}A_{n}]^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11d20312b5ef0eb58f51c9cb4b61c2cc8b95f71)
Точно так же, чтобы вывести форму параметризации Фейнмана из наиболее общего случая, :
можно начать с подходящей другой формы параметризации Швингера в знаменателе, а именно:
![{\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}}}={\frac {1}{\left(\alpha _{1}-1\right)!}}\int _{0}^{\infty }ds_{1}\,s_{1}^{\alpha _{1}-1}e^{-s_{1}A_{1}}={\frac {1}{\Gamma (\alpha _{1})}}{\frac {\partial ^{\alpha _{1}-1}}{\partial (-A_{1})^{\alpha _{1}-1}}}\left(\int _{0}^{\infty }ds_{1}e^{-s_{1}A_{1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa325ae2b9d6f17b2c7a24fde357527e32d480bc)
и затем действовать точно в соответствии с предыдущим случаем.
Альтернативная форма
Альтернативная форма параметризации, которая иногда полезна,
![{\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b103991b478aa4c7f21ffc0d51b9c8e7711846)
Эта форма может быть получена с помощью замены переменных
, Мы можем использовать правило произведения, чтобы показать, что
, затем
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{AB}}&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{(1-u)^{2}}}{\frac {1}{\left[{\frac {u}{1-u}}A+B\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{2}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d4182ef7a1d46a52f9f40f0c9cea3988f7c028)
В более общем случае мы имеем
![{\displaystyle {\frac {1}{A^{m}B^{n}}}={\frac {\Gamma (m+n)}{\Gamma (m)\Gamma (n)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{m-1}d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{n+m}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b986497e8262710b61788c4b56e6b6753d55a3e)
где
— гамма-функция .
Эта форма может быть полезна при объединении линейного знаменателя
с квадратичным знаменателем
, например, в эффективной теории тяжелых кварков (HQET).
Симметричная форма
Иногда используется симметричная форма параметризации, где вместо этого выполняется интеграл на интервале
, что приводит к:
![{\displaystyle {\frac {1}{AB}}=2\int _{-1}^{1}{\frac {du}{\left[(1+u)A+(1-u)B\right]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869668a62d68d9029027a8be5272a4ec432944ef)
Примечания