Дельта-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Схематический график одномерной дельта-функции.

Де́льта-фу́нкция (или δ-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция) — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Например, плотность единичной точечной массы m, находящейся в точке a для примера, одномерного евклидова пространства записывается с помощью -функции в виде Дельта-функция также применима для описания распределений заряда, массы и т. п. на поверхностях или линиях.

-Функция не является функцией в классическом смысле, а определяется как обобщённая функция: непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций. Можно ввести производную для δ-функции, которая тоже будет обобщённой функцией, и интеграл, определяемый как функция Хевисайда. Нетрудно указать последовательности обычных классических функций, слабо сходящиеся к -функции.

Можно различать одномерную и многомерные дельта-функции, однако последние могут быть представлены в виде произведения одномерных функций в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная функция.

Введена английским физиком Полем Дираком.

Определения[править | править вики-текст]

Существуют различные взгляды на понятие дельта-функции. Получающиеся при этом объекты, вообще говоря, различны, однако обладают рядом общих характерных свойств. Все указанные ниже конструкции естественно обобщаются на случаи пространств большей размерности .

Простое определение[править | править вики-текст]

Дельта-функцию (функция Дирака) одной вещественной переменной можно определить как функцию , удовлетворяющую следующим условиям:

То есть эта функция не равна нулю только в точке , где она обращается в бесконечность таким образом, чтобы её интеграл по любой окрестности был равен 1. В этом смысле понятие дельта-функции аналогично физическим понятиям точечной массы или точечного заряда. Для понимания интеграла полезно представить себе некую фигуру на плоскости с единичной площадью, например, треугольник. Если уменьшать основание данного треугольника и увеличивать высоту так, чтобы площадь была неизменной, то в предельном случае мы получим треугольник с малым основанием и очень большой высотой. По предположению его площадь равна единице, что и показывает интеграл. Вместо треугольника можно без ограничения общности использовать любую фигуру. Аналогичные условия верны и для дельта-функций, определённых на

Эти равенства не принято считать определением дельта-функции, однако во многих учебниках по физике она определяется именно так, и этого достаточно для точного определения дельта-функции. Отметим, что из данного определения дельта-функции вытекает следующее равенство

(фильтрующее свойство) для любой функции f. Действительно, в силу свойства при значение этого интеграла не изменится, если функцию заменить функцией , которая равна в точке , а в остальных точках имеет произвольные значения. Например, берём , затем выносим за знак интеграла и, используя второе условие в определении дельта-функции, получаем нужное равенство.

Производные от дельта-функции также почти всюду равны 0 и обращаются в при .

Классическое определение[править | править вики-текст]

Дельта-функция определяется как линейный непрерывный функционал на некотором функциональном пространстве (пространстве основных функций). В зависимости от цели и желаемых свойств, это может быть пространство функций с компактным носителем, пространство функций, быстро убывающих на бесконечности, гладких функций на многообразии, аналитических функций и т. д. Для того, чтобы были определены производные дельта-функции с хорошими свойствами, во всех случаях основные функции берутся бесконечно дифференцируемыми, пространство основных функций также должно быть полным метрическим пространством. Общий подход к обобщённым функциям см. в соответствующей статье. Такие обобщённые функции также называют распределениями.

Мы рассмотрим самый простой вариант. В качестве пространства основных функций рассмотрим пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на отрезке. Последовательность сходится к , если на любом компакте функции сходятся к равномерно вместе со всеми своими производными:

Это локально выпуклое метризуемое пространство. Дельта-функцию определим как функционал , такой что

Непрерывность означает, что если , то . Здесь  — значение функционала на функции . Для удобства это записывают как

Заметим, что при таком подходе интегральная запись есть не больше, чем формальное обозначение, облегчающее восприятие формул.

Дельта-функция по Коломбо[править | править вики-текст]

Используемому для работы с дельта-функцией интегральному выражению можно придать смысл, близкий к интуитивному, в рамках теории алгебры обобщённых функций Коломбо (англ. Colombeau algebra) [1].

Пусть  — множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем, то есть не равных нулю лишь на ограниченном множестве. Рассмотрим множество функций

Обобщённая функция — это класс эквивалентности функций бесконечно дифференцируемых по x при каждом и удовлетворяющих некоторому условию умеренности (полагая и все её производные по x достаточно медленно растут при ). Две функции полагаются эквивалентными, если , где  — ещё один класс функций с ограничениями на рост при

Дельта-функция определяется как Преимущество подхода Коломбо в том, что его обобщённые функции образуют коммутативную ассоциативную алгебру, при этом на множество обобщённых функций естественно продолжаются понятия интегрирования, дифференцирования, пределов, даже значения в точке. В этом смысле на дельта-функцию действительно можно смотреть как на функцию, равную 0 везде, кроме точки 0, и равную бесконечности в нуле, так как теория Коломбо включает в себя теорию бесконечно больших и бесконечно малых чисел, аналогично нестандартному анализу.

Подход Егорова[править | править вики-текст]

Аналогичная теория обобщённых функций была изложена в работе Ю. В. Егорова[2]. Хотя она не эквивалентна теории Коломбо, конструкция значительно проще и обладает большинством желаемых свойств.

Обобщённая функция — это класс эквивалентности последовательностей Последовательности и считаются эквивалентными, если для любого компакта функции последовательностей совпадают на начиная с некоторого номера:

Всевозможные операции над последовательностями (умножение, сложение, интегрирование, дифференцирование, композиция, …) определяются покомпонентно. Например, интеграл по множеству I определяется как класс эквивалентности последовательности

Две обобщённые функции слабо равны, если для любой бесконечно гладкой функции

При этом дельта-функция определяется любой дельта-образной последовательностью (см. ниже), все такие обобщённые функции слабо равны.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Интеграл от дельта-функции по любому интервалу, содержащему в себе ноль, то есть интервалу вида где и  — произвольные действительные положительные числа, равен 1.
  • , где  — простые нули функции .
Функция Хевисайда.
  • Фильтрующее свойство дельта-функции:

δ-Функция как слабый предел[править | править вики-текст]

Пусть

Тогда последовательность

слабо сходится к -функции.

График функции

Часто в качестве выбирают

дающую последовательность

Если нужно, чтобы члены последовательности были всюду положительными функциями, можно исходить из Гауссова колокола:

Интегральное представление[править | править вики-текст]

Во многих приложениях оказывается удобным интегральное представление дельта-функции:


Производная дельта-функции[править | править вики-текст]

По определению производной дельта-функции :

(распространение интегрирования по частям на случай подынтегральных выражений, содержащих дельта-функцию).

Аналогично для n-й производной дельта-функции:

А проинтегрировав так по частям n раз, получим в конце концов:


Для производной дельта-функции имеет место тождество:

которое можно получить дифференцируя произведение .

Преобразование Фурье[править | править вики-текст]

  • В этом параграфе мы будем применять нормировку, соответствующую соглашению о единичном коэффициенте в обратном преобразовании, то есть имея в виду
  • Формулы этого параграфа имеют соответствующие аналоги для многомерного преобразования Фурье.

К дельта-функции можно применить преобразование Фурье:

Таким образом, спектр (Фурье-образ) дельта-функции, центрированной в точке , является „волной“ в пространстве частот, обладающей „периодом“ . В частности, спектр (Фурье-образ) дельта-функции, центрированной в нуле, является константой (нестрого говоря — „волной“ с бесконечно большим „периодом“):

Соответственно, наоборот - дельта-функция является Фурье-образом чистой гармонической функции или константы.

Представление многомерных дельта-функций в различных системах координат[править | править вики-текст]

В n-мерном пространстве в декартовых координатах (ортонормированном базисе):

В двумерном пространстве:

В полярных координатах:

 — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при r=0),
 — с особенностью в точке общего положения при r=0 доопределяется нулём.

В трёхмерном пространстве:

В цилиндрической системе координат:

 — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при ),
 — с особенностью в точке общего положения при r=0 доопределяется нулём.

В сферической системе координат:

 — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при r=0).
В формулах с особенностью в начале координат нередко используют вдвое большие коэффициенты (1/π для цилиндрической и полярной, 1/2π для сферической). Это связано с тем, что предполагается вдвое меньший результат интегрирования в случае, если особая точка находится точно на границе интервала интегрирования.

Физическая интерпретация[править | править вики-текст]

Вблизи заряженной точки поле бесконечно, ряды Тейлора для поля не сходятся, поэтому вводят специальные функции. Одной из таких функций является дельта-функция. Вопрос о поле точечной заряженной частицы сравнительно сложен, поэтому рассмотрим сначала более простой пример.

Мгновенное ускорение[править | править вики-текст]

Пусть частица, способная перемещаться вдоль прямой, при ударе пренебрежимо малой длительности скачком приобретает какую-то скорость. Зададимся вопросом: как рассчитать ускорение, приобретённое телом? Построим график зависимости изменения скорости от времени. График будет иметь следующий вид:

Hevisaidstep.JPG

Данный график почти всюду является графиком функции Хевисайда. Производная функции Хевисайда является единичной дельта-функцией, график которой условно можно изобразить как

Dirac-edenichnaja.jpg

Данный график отображает бесконечное ускорение при мгновенном наборе скорости. В общем случае ускорение при ударе можно записать как

Масса материальной точки[править | править вики-текст]

Если нужно найти суммарную массу (или заряд) некоторого непрерывного распределения плотности (или плотности заряда) содержащего, кроме того, точечные массы (заряды), то удобно вместо формулы, учитывающей отдельно дискретные массы и непрерывную конечную плотность:

где  — радиус-вектор положения рассматриваемого заряда, записывать просто:

имея в виду, что имеет как непрерывную, так и дельтообразные, то есть, сосредоточенные в точке, (по одной для каждой точечной массы) составляющие:

Другие примеры[править | править вики-текст]

  • Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом пределе () квантовой механики волновые функции локализуются в волновые пакеты с дельтообразными (то есть имеющими в пределе форму дельта-функции) огибающими, и области их локализации движутся по классическим траекториям согласно уравнениям Ньютона.
  • Преобразование Фурье единицы является дельта-функцией. Это позволяет более удобно и математически строго формулировать различные задачи, связанные с преобразованием Фурье, которые очень многочисленны: волновая оптика, акустика, теория колебаний. В квантовой механике преобразования Фурье волновых функций играют первостепенную принципиальную и техническую роль, именно для неё Дирак впервые ввёл дельта-функцию.
  • Дельта-функции играют роль собственных функций оператора с непрерывным спектром в представлениях, где этот оператор диагонален. Таким образом, они играют роль базиса в диагональном представлении оператора.
  • Важным применением дельта-функции является их участие в аппарате функций Грина линейных операторов. Для линейного оператора L, действующего на обобщённые функции над многообразием M, уравнение, определяющее функцию Грина g с источником в точке имеет вид
Особенно часто встречается применение этого аппарата к оператору Лапласа (электростатика, теплопроводность, диффузия, механическая теория упругости) и подобным ему операторам, таким как Оператор Д’Аламбера (акустика, электродинамика, квантовая теория поля, где функция Грина часто носит специальное название пропагатора).
где r — расстояние до начала координат. Этот факт используется для доказательства того, что выражение для скалярного потенциала
удовлетворяет уравнению Пуассона:

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Colombeau J. F. Elementary Introduction to New Generalized Functions. — Amsterdam: Elsevier Science Publishers B. V., 1985. — 281 с. — ISBN 978-0-444-87756-7.
  2. Егоров Ю. В. К теории обобщённых функций // УМН. — 1990. — Т. 45, вып. 5 (275). — С. 3—40.

Литература[править | править вики-текст]

  • Дирак П. А. М. Основы квантовой механики / Пер. с англ. — М., 1932 (есть много переизданий).
  • Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — Том 2. — ISBN 5-9221-0185-4.
  • Weisstein, Eric W. Delta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных уравнений. — Том 1.
  • Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы в частных производных.
  • Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщённые функции и действия над ними.
  • Краснопевцев Е. А. Математические методы физики. Избранные вопросы.