Теорема Абеля

Теорема Абеля — результат теории степенных рядов, названный в честь норвежского математика Нильса Абеля. Обратной к ней является теорема Абеля — Таубера.

Утверждение

Пусть $\textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}x^{n}$ — степенной ряд с комплексными коэффициентами и радиусом сходимости $R$.

Если ряд $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}$ является сходящимся, тогда:

$\lim _{x\to R^{-}}f(x)=\sum _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}$.

Доказательство

Заменой переменных $u=x/R$, можно считать $R=1$. Также (необходимым подбором $a_{0}$) можно предположить $\textstyle \sum a_{n}=0$. Обозначим $S_{n}$ частичные суммы ряда $\textstyle \sum a_{n}$. Согласно предположению $\lim _{n\to \infty }S_{n}=0$ и нужно доказать, что $\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=0$.

Рассмотрим $x\in [0,1]$. Тогда (приняв $S_{-1}=0$):

$\sum _{n=0}^{N}(S_{n}-S_{n-1})x^{n}=\sum _{n=0}^{N}S_{n}(x^{n}-x^{n+1})+S_{N}x^{N+1}.$

Отсюда получается $\textstyle f(x)=(1-x)\sum \limits _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n}$.

Для произвольного $\varepsilon >0$ существует натуральное число $N_{0}$, что $|S_{n}|\leq \varepsilon$ для всех $n>N_{0}$, поэтому:

$\vert f(x)\vert \leqslant (1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +(1-x)\ \varepsilon \sum _{n=N_{0}+1}^{\infty }x^{n}=(1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +\varepsilon x^{N_{0}+1}.$

Правая часть стремится к $\varepsilon$ когда $x$ стремится к 1, в частности она меньше $2\varepsilon$ при следовании $x$ к 1.

Примеры

Примеры 1

Возьмем $\textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\ln(1+x)$. Поскольку ряд $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$ сходится, имеем:

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\ln 2=\sum _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

Примеры 2

Возьмем $\textstyle g(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan(x)$. Поскольку ряд $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$ сходится, имеем:

$\lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$

Ссылки

• Abel summability (англ.) на сайте PlanetMath. (a more general look at Abelian theorems of this type)
• Weisstein, Eric W. Abel's Convergence Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.