Уравнение эйконала

Уравнение эйконала (от др.-греч. εἰκών — изображение) — нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, встречающееся в задачах распространения волн, когда волновое уравнение аппроксимируется с помощью квазиклассического приближения. Это уравнение выводится из уравнений Максвелла и связывает волновую оптику с геометрической оптикой.

Формулировка

Уравнение эйконала может быть представлено в форме:

$|\nabla u(x)|=F(x),\ x\in \Omega$

$u|_{\partial \Omega }=0$, где

$\Omega$ есть подмножество в $\mathbb {R} ^{n}$. Здесь

• $F(x)$ — функция с положительными значениями, связанная со скоростью распространения волн в среде.
• $\nabla$ — обозначает градиент,
• $|\dots |$ — Евклидова норма.

Примеры

• Если $F\equiv 1$, то функция расстояния до $\partial \Omega$ удовлетворяет уравнению эйконала.

Ссылки

• Приближение коротких длин волн. Уравнение эйконала

Литература

• Борн М., Вольф Э. Основы оптики / Пер. с англ. — М., 1973.