У этого термина существуют и другие значения, см.
Бета .
График бета-функции при вещественных аргументах В математике бета-функцией (
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,}
определённая при
Re
x
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} x>0}
Re
y
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} y>0}
Бета-функция была изучена Эйлером , Лежандром [когда? , а название ей дал Жак Бине .
Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть
B
(
x
,
y
)
=
B
(
y
,
x
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\operatorname {\mathrm {B} } (y,x).}
Бета-функцию можно выразить через другие функции:
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}},}
где
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
Гамма-функция ;
B
(
x
,
y
)
=
2
∫
0
π
/
2
sin
2
x
−
1
θ
cos
2
y
−
1
θ
d
θ
,
Re
x
>
0
,
Re
y
>
0
;
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\quad \operatorname {Re} x>0,\ \operatorname {Re} y>0;}
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
(
1
+
t
)
x
+
y
d
t
,
Re
x
>
0
,
Re
y
>
0
;
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\quad \operatorname {Re} x>0,\ \operatorname {Re} y>0;}
B
(
x
,
y
)
=
1
y
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
y
)
n
+
1
n
!
(
x
+
n
)
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(y)_{n+1}}{n!(x+n)}},}
где
(
x
)
n
{\displaystyle (x)_{n}}
нисходящий факториал , равный
x
⋅
(
x
−
1
)
⋅
(
x
−
2
)
⋅
…
⋅
(
x
−
n
+
1
)
{\displaystyle x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1)}
Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала , бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:
(
n
k
)
=
1
(
n
+
1
)
B
(
n
−
k
+
1
,
k
+
1
)
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}
Бета-функция удовлетворяет двумерному разностному уравнению :
B
(
x
,
y
)
−
B
(
x
+
1
,
y
)
−
B
(
x
,
y
+
1
)
=
0.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)-\mathrm {B} (x+1,y)-\mathrm {B} (x,y+1)=0.}
Частные производные у бета-функции следующие:
∂
∂
x
B
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
)
(
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
−
Γ
′
(
x
+
y
)
Γ
(
x
+
y
)
)
=
B
(
x
,
y
)
(
ψ
(
x
)
−
ψ
(
x
+
y
)
)
,
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)}}\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (x)-\psi (x+y){\big )},}
∂
∂
y
B
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
)
(
Γ
′
(
y
)
Γ
(
y
)
−
Γ
′
(
x
+
y
)
Γ
(
x
+
y
)
)
=
B
(
x
,
y
)
(
ψ
(
y
)
−
ψ
(
x
+
y
)
)
,
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(y)}{\Gamma (y)}}-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)}}\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (y)-\psi (x+y){\big )},}
где
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
дигамма-функция .
Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее интеграл по отрезку
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
B
x
(
a
,
b
)
=
∫
0
x
t
a
−
1
(
1
−
t
)
b
−
1
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {B} _{x}(a,b)=\int \limits _{0}^{x}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt.}
При
x
=
1
{\displaystyle x=1}
Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:
I
x
(
a
,
b
)
=
B
x
(
a
,
b
)
B
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{x}(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}
I
(
x
)
{\displaystyle I(x)}
I
0
(
a
,
b
)
=
0
,
{\displaystyle I_{0}(a,b)=0,}
I
1
(
a
,
b
)
=
1
,
{\displaystyle I_{1}(a,b)=1,}
I
x
(
a
,
b
)
=
1
−
I
1
−
x
(
b
,
a
)
,
{\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a),}
I
x
(
a
+
1
,
b
)
=
I
x
(
a
,
b
)
−
x
a
(
1
−
x
)
b
a
B
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle I_{x}(a+1,b)=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{aB(a,b)}}.}
Кузнецов Д. С. Специальные функции (1962) — 249 с.
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
