Прямая Обера

Полный четырёхсторонник

Прямая Обера (четырёхсторонника) — прямая, на которой лежат четыре ортоцентра четырёх треугольников, образованных четырьмя попарно пересекающимися прямыми, никакие три из которых не проходят через одну точку. Здесь используются те же четыре треугольника, что и при построении точки Микеля.

Существование прямой Обера обосновывается тем, что совпадают четыре прямых Симсона у этих треугольников.

Другими словами, прямая Обера полного четырёхсторонника является радикальной осью двух окружностей, построенных на его диагоналях как на диаметрах.

Последнее утверждение можно сформулировать в следующем виде. Пусть $ABCD$ — четырёхугольник, прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $F$, $BC$ и $AD$ — в $E$. Тогда окружности, построенные на отрезках $AC$, $BD$ и $EF$, как на диаметрах, имеют общую радикальную ось, на которой лежат 4 ортоцентра (4 точки пересечения высот) треугольников $ABE$, $CDE$, $BCF$ и $ADF$ (прямая Обера — Штейнера).

Как хорошо известно, последняя упомянутая прямая Обера — Штейнера есть директриса параболы, касающейся всех 4 сторон данного полного четырёхсторонника или вневписанной в него.

Замечание

В утверждении "Существование прямой Обера обосновывается тем, что совпадают четыре прямых Симсона у этих треугольников" не понятно, о каких конкретно прямых Симсона 4 треугольников идет речь, поскольку у треугольников имеется бесчисленное множество прямых Симсона.

Свойства

• Точка Лемуана треугольника лежит на прямой Обера четырёхсторонника, образованного четырьмя осями биссектрис.
• Прямая Ньютона перпендикулярна прямой Обера.

См. также

• Точка Микеля

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 63-64. — ISBN 5-94057-170-0.