производная не обращается в ноль на интервале (значит, по теореме Ролля, ).
Тогда существует , для которой верно:
Замечания
Потребовав явно, что , можно ослабить условие 3 и требовать лишь чтобы и не обращались одновременно в нуль на интервале .
Можно полностью опустить условие 3, если переписать формулу следующим образом:
.
Геометрически утверждение можно переформулировать так: если и задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами и , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от до .
Доказательство
Для доказательства введём функцию
Легко видеть, что для неё выполнены условия теоремы Ролля. Воспользовавшись этой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю:
Перенеся в этом равенстве второе слагаемое вправо мы получим формулу из наиболее общей формулировки теоремы.
В оригинальной формулировке остаётся разделить равенство на и .
Оба эти числа будут ненулевыми и при ослаблении требования 3 до отсутствия общих нулей
у и :
для это требуется явно,
а если , то
.
Но, так как , отсюда следует, что — противоречие с условием.