Уравнение пятой степени

Уравнением пятой степени называют уравнение вида: $ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0$

Теорема Виета для уравнения пятой степени

Корни уравнения пятой степени $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5}$ связаны с коэффициентами $a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f$ следующим образом:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=-{\frac {b}{a}},$

$x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{1}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{2}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}+x_{3}\,x_{5}+x_{4}\,x_{5}={\frac {c}{a}},$

$x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {d}{a}},$

$x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}={\frac {e}{a}},$

$x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {f}{a}}.$

Решение

Точной формулы решения уравнения пятой степени не существует. Если $a=1,f=0$

Уравнение имеет вид

$x^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex=0$, где $x$ выносим за скобки (см. Сводное уравнение)

$x(x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)=0$, где один из корней равна нулю.

В скобках уравнение четвертой степени.

Если $b=d=0$, уравнение биквадратное. Один из корней равен нулю, остальные корни ищут по формуле

${\textstyle \pm {\sqrt {-c\pm {\frac {\sqrt {c^{2}-4e}}{2}}}}}$.

Если $b=e=0$, уравнение в скобках имеет вид

$x^{4}+cx^{2}+dx=0$, где выносим за скобки:

$x(x^{3}+cx+d)=0$, где один из корней ноль, остальные три корня ищем по формуле Кардано.

Пример

Решите уравнение

$x^{5}+5x=0$.

Решение. Выносим $x$ за скобки:

$x(x^{4}+5)=0$.

Раскладываем $x^{4}+5$ на множители:

$x(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)=0$.

Уравнение имеет пять корней:

$x_{1}=0$, $x_{2}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$, $x_{3}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$, $x_{4}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$, $x_{5}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$.

См. также

• Квадратное уравнение
• Кубическое уравнение
• Уравнение четвёртой степени

Ссылки

• О решении уравнения пятой степени
• О решении уравнений высших степеней