Формула Кардано

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Фо́рмула Карда́но — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано, опубликовавшего её в 1545 году[1].

Любое кубическое уравнение общего вида

при помощи замены переменной

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

Формула[править | править код]

Определим величину[2]:

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней[2]:

  • Q > 0 — один вещественный корень и два сопряжённых комплексных корня.
  • Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
  • Q < 0 — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа, потому что вещественный результат получается по формуле с помощью комплексных чисел[2].

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

где

Дискриминант многочлена при этом равен .

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений необходимо брать такое , для которого выполняется условие (такое значение всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения .

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 101. — 530 с. Архивная копия от 21 октября 2014 на Wayback Machine
  2. 1 2 3 Справочник по высшей математике, 1999, с. 144.

Ссылки[править | править код]